伽罗瓦理论之美（二） (5-1)

比如，我们在有理数域Q上添加一个无理数√2 ，形成一个新的数域 Q(√2) ，则 Q(√2)/Q 就是Q上的一个扩域。由域的定义知道，这个形成的新域不只是包含 √2 ，还包含着任何通过有理数与 √2 进行加法和乘法得到的数。其实，除了加法和乘法，域里面还有着逆元，加法的逆元运算对应着减法，乘法的逆元运算对应着除法。也就是说，表面上域定义了加法和乘法，实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构，但是落实到我们日常的数字和运算上，与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。

可以证明，任何可以表示为α＋b · √2 （a,b ∈ Q）的数都属于Q(√2) 这个域，而这个域里面的任何数也都可以表示成为α＋b · √2 （a,b ∈ Q）的形式。显然，这个 Q(√2) 就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具，我们可以构造出无穷多个数域。

（2）之后伽罗瓦考虑的应该是如何定义方程的根式可解

因为在伽罗瓦从事数学研究的那5年，人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是，到底什么是根式求解？字面意思很容易理解，就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来，就是可以根式求解的；如果不能以这种方式表达，那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义，但是从数学的角度来说，还不够清晰。

伽罗瓦通过自己的深入思考，给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前，需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论：

（a）一个数域里面的任何数，都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来；

（b）除了个别特殊情况外，一般来讲，数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的（类似于√2∉Q）；

（c）把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后，扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达，或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达；

明白了上面这3条结论，就可以知道，能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。

纯扩域：B/F为扩域，B＝F(d) ， d∈B ， dᵐ∈F ，此时把B称为F的m型纯扩域。

显然，所谓m型纯扩域就是在域F中找一个数开m次方，然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域，根据前面的分析，纯扩域B中的任何数都可以通过域F中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去，把F扩为F₁ ，把 F₁ 扩为 F₂ ，…，无论多少次这种扩域，只要是有限次，最终的扩域 Fₙ 中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此，引出一个新概念，根式塔。

根式塔：不断扩域形成的域列，F＝F₁ ⊆ F₂ ⊆. . . ⊆ Fᵣ₊₁ ，如果每个扩域 Fᵢ₊₁/Fᵢ （i=1,2, …,r）都是一个纯扩域，则称此域列为一个根式塔。

于是，数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数，一定包括在某个根式塔的Fᵣ₊₁ 之中。由此，伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。