伽罗瓦理论之美（二） (5-4)

σ(α)＝σ(1 × α)＝σ(1) × σ(α) ⇒ σ(1)＝1

σ(1)＝σ(α × α⁻¹)＝σ(α) × σ(α⁻¹)＝1 ⇒ σ(α) ≠ 0，即 α ≠ 0 时 σ(α) ≠ 0 。

于是得到， α ≠ b 时， σ(α – b)＝σ(α) – σ(b) ≠ 0 ⇒ σ(α) ≠ σ(b)。这说明 σ 是单射。单射必有逆映射，令其逆映射为 σ⁻¹ ，则必有 σ * σ⁻¹(α)＝σ(σ⁻¹(α))＝α ⇒ σ * σ⁻¹＝σₑ ，确定逆元必然存在。

综上，Aut（E）在上述“乘法”定义下构成群。

对群、域不熟悉的人来说，也许这个思维体操稍微有些“绕”，但是对于熟悉的人来说，这个关系是一眼就可以看出来的。我想，如果一个不熟悉的人把上述并不复杂的推导看明白后，也会感觉到愉悦的。

当然，我相信对于伽罗瓦来说，上述结论是瞬间就想到了的。不仅如此，伽罗瓦还进一步找到了群Aut（E）的一类子群——我们今天称之为伽罗瓦群。

伽罗瓦群：E/F是扩域，且E是系数在F内的某个多项式方程的根域（根域参见前面的说明，以后会将这种根域叫做F的正规扩域），E上全部自同构映射的集合Aut（E）中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut（E）的一个子群，称为E在F上的伽罗瓦群，记为G（E/F）。

概念越来越复杂了，解释一下，就是对于Aut（E）中的自同构映射，有一部分是在F上的恒等映射，也就是说F中的元素在这部分映射的作用下是不变的，这类映射的全体组成的集合也构成一个群，是Aut（E）的子群，叫做E在F上的伽罗瓦群。

有人会问，为什么要搞出个伽罗瓦群的概念呢？下面就是见证奇迹的时刻了：

设f(x)∈F[x] （意思是 f(x) 的系数都在 F 内），则对于任意 σ∈G(E/F) ，必然有 σ(f(x))＝f(x) ，这是因为 σ 作用在 F 上是恒等映射；同时，设方程 f(x)＝0 有n个根，分别是 α₁ 、 α₂ 、…、 αₙ ，那么 f(x)＝(x – α₁)(x – α₂). . .(x – αₙ) ，于是 σ(f(x))＝(x – σ(α₁))(x – σ(α₂)). . .(x – σ(αₙ))＝f(x)＝(x – α₁)(x – α₂). . .(x – αₙ) 。这说明 σ(α₁) 、 σ(α₂) 、…、 σ(αₙ) 只是 α₁ 、 α₂ 、…、 αₙ 的一组置换（意思是，还是这n个数，只是位置发生了变化，如 σ(α₁)＝α₂ 、 σ(α₂)＝α₁ 之类的变换）！

看到了么，伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换！要知道，从500年前的费尔洛解出了一般一元三次方程，到400年前的塔尔塔利亚、卡丹、费拉里解出一元四次方程，一直到200年前的拉格朗日创造出了方程的预解式，高斯得到了高斯定理，都是在大量的计算推导中，模模糊糊的察觉到方程的解与根的置换似乎有关系。直到伽罗瓦横空出世，清晰的告诉世人，一元高次方程是否可以根式求解的奥秘，就藏在这些根的置换当中。

当然，只知道宝藏的位置还不够，还需要有打开宝藏的钥匙。天才的伽罗瓦找到了这把钥匙，我把它称为“神来之笔”——伽罗瓦对应。

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