伽罗瓦理论之美（二） (5-3)

【伽罗瓦理论】

从前面的介绍我们知道，根式可解需要找到一个根式塔，根式塔是一个域列。只知道这些，我们还是解决不了方程是否能够根式求解的问题，因为我们仍然不知道怎样判断是否存在这种根式塔？

伽罗瓦在思考这个问题的时候，发现或者说找到了一种对应关系——伽罗瓦对应。应该讲，这种对应关系是人类思维领域的“神来之笔”。我无法想象伽罗瓦到底是通过怎样的思考发现了这种对应关系，对我自己来说，能够较快理解伽罗瓦对应就已经谢天谢地了。

伽罗瓦对应的发现应该是从域的自同构映射开始的。

域的自同构映射：前面我们介绍了域的同构，知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的，我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上，这种自同构映射未必只有一个，我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut（E）。

现在开始，我们的思维要在理解群、域的基础上再上一个台阶，开始思考域的自同构映射组成的集合了。记住，Aut（E）中的元素是E→E集合间的映射。

下面再做一个稍复杂点的思维体操，定义Aut（E）上两个元素σ₁ 和 σ₂ 之间的“乘法”为 σ₁ * σ₂(α)＝σ₁(σ₂(α)) ，证明Aut（E）在这个“乘法”下构成群。

＜1＞ 构成群首先要满足封闭性，也就是对于σ₁∈Aut(E) 和 σ₂∈Aut(E) ，要证明 σ₁ * σ₂∈Aut(E) 。证明如下：

请记住，Aut（E）中的 σ 都是自同构映射，必然满足 σ(α＋b)＝σ(α)＋σ(b) ， σ(α × b)＝σ(α) × σ(b) （请注意，这里的“*”代表域Aut(E)中的“乘法”，“ × ”代表域E中的“乘法”）。由此，我们可以得到

σ₁ * σ₂(α＋b)

＝σ₁(σ₂(α＋b))

＝σ₁(σ₂(α)＋σ₂(b))

＝σ₁(σ₂(α))＋σ₁(σ₂(b))

＝σ₁ * σ₂(α)＋σ₁ * σ₂(b)

σ₁ * σ₂(α × b)

＝σ₁(σ₂(α × b))

＝σ₁(σ₂(α) × σ₂(b))

＝σ₁(σ₂(α)) × σ₁(σ₂(b))

＝σ₁ * σ₂(α) × σ₁ * σ₂(b)

也即 σ₁ * σ₂ 也满足自同构映射的条件，于是σ₁ * σ₂∈Aut(E) 。封闭性得到了满足。

＜2＞ 结合律：

(σ₁ * σ₂) * σ₃(α)

＝(σ₁ * σ₂)(σ₃(α))

＝σ₁(σ₂(σ₃(α)))

＝σ₁ * (σ₂ * σ₃)(α)

也就是 (σ₁ * σ₂) * σ₃＝σ₁ * (σ₂ * σ3) ，满足结合律。

＜3＞ 单位元：显然对于E→E上的恒等映射 σₑ ，满足σₑ(α)＝α，∀α ∈ E ，容易验证σₑ即为Aut（E）的单位元。

＜4＞ 逆元： ∀σ∈Aut(E) ， α∈E 且 α ≠ 0 ，有

σ(0)＝σ(α – α)＝σ(α) – σ(α)＝0

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