伽罗瓦理论之美（二） (5-2)

根式可解：设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内，此方程的全部根都包含在域E之内，且E是包含f(x)全部根的最小域（此时称E为F上多项式f(x)的根域），如果存在根式塔F＝F₁ ⊆ F₂ ⊆. . . ⊆ Fᵣ₊₁，且 E ⊆ Fᵣ₊₁ ，称域F上的方程f(x)根式可解。

看到伽罗瓦给出的根式可解定义，我有一种感觉，也许伽罗瓦的脑子天生就是结构化的，他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西，但是经过伽罗瓦重新定义的根式可解变得清晰明确，有数学实体可以抓了。

三、“神来之笔”——域的自同构、伽罗瓦群与伽罗瓦对应‬

【伽罗瓦的故事】

伽罗瓦的葬礼因政治原因而变得混乱，政府认为伽罗瓦的葬礼将会造成一次政治集会，为了维护稳定，政府在葬礼之前的晚上逮捕了30名伽罗瓦的同志。尽管如此，还是有两千多个共和主义者参加了葬礼，从而与政府人员之间爆发了一场混战。这之后，不断有人怀疑伽罗瓦与斯特凡妮的风流韵事是一个阴谋，用来害死伽罗瓦的阴谋。直到今天，伽罗瓦到底是死于愚蠢的爱情还是政治阴谋仍然没有定论。但无论是哪种原因，这位研究数学才5年但是却被认为是最伟大的数学家之一的天才，在21岁的时候就离开了人世。这对数学界来说是一个重大的损失，只不过当时的人们还完全认识不到。

伽罗瓦虽然在决斗的前夜把他的数学思想写了出来，但是这种潦草的内容、跳跃的思维并不是立刻就被数学界所理解的。虽然伽罗瓦的兄弟和朋友把他写下的数学思想重新整理了一遍，并分送给了高斯、雅可比等人，但是伽罗瓦的伟大研究成果仍然没有得到理解和承认。直到14年后，法国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）重新整理并发表了伽罗瓦的著作，才使得伽罗瓦理论逐渐被世人所理解。

刘维尔本人也是一位著名的数学家，一生从事数学、力学和天文学的研究，涉足广泛，成果丰富，尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题和数论中的超越数问题有深入研究。他是第一个证实超越数存在的人。

即使是这样一位著名数学家，仍然从1843年到1846年用了3年的时间来彻底研究伽罗瓦的理论，终于在1846年比较全面的理解了伽罗瓦的成就并发表出来。刘维尔虽然在数学领域有不小的贡献，但很可能他整理、理解并发表伽罗瓦理论是他在数学领域最大的贡献。代数学能够取得今天的成就，刘维尔功劳不小。

刘维尔在反思为什么伽罗瓦的理论在很长一段时间内不能得到理解的原因时，写下了这样一段话：

过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡尔说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰”。

伽罗瓦太不把这条箴言放在心上,……伽罗瓦再也回不来了！我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西,……

我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦 。

真心希望大家了解了伽罗瓦理论之后，能够像刘维尔一样有一种“强烈的愉悦感”。伽罗瓦的故事讲完了，伽罗瓦那天才的思想还需要继续。

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