费马大定理 (5-3)

那么，p-亏量的上述模式是否对于所有的椭圆曲线都适用的？很遗憾，不是。上述例子主要是让你熟悉Nₚ的定义以及p-亏量概念的由来。p-亏量 αₚ 真正的"一般规律"是传说中的模性模式。这是本文最核心的概念，也是证明费马大定理的关键。下面我们来体会一下模性模式这个概念的一个轮廓。

数学家们花了很长时间发现这样一个规律，我们以E₂为例子来说明。先看一个无穷乘积：

θ=T[(1-T)(1-T¹¹)]²×[(1-T²)(1-T²²)]²×[(1-T³)(1-T³³)]²......

我去，这式子有点复杂！没关系，把前面的因子先乘起来，然后再展开成像幂级数那样指数由小到大的排列形式，我们取前13项，有：

θ=T-2T²-1T³+2T⁴+1T⁵+2T⁶-2T⁷-2T⁹-2T¹⁰+1T¹¹-2T¹²+4T¹³+......

然后再检查E₂的p≤13的p-亏量：

α₂＝0， α₃＝–1， α₅＝1， α₇＝–2， α₁₁＝1， α₁₃＝4。

把p-亏量对照展开式中加深颜色的数字，你发现了什么？除了 α₂，它们是相等的，这正是该模式关于E₂的结论。令数学家们惊讶的是，这对所有的奇数p都成立。我们称之为关于椭圆曲线E₂的模定理：

●设椭圆曲线E₂为 y²＝x³ – 4x²＋16 ，无穷乘积为θ=T[(1-T)(1-T¹¹)]²×[(1-T²)(1-T²²)]²×[(1-T³)(1-T³³)]²......，将其展开成和式表示 θ＝c₁T＋c₂T²＋c₃T³＋c₄T⁴＋. . . . . . 。对于素数p≥3，E₂的p-亏量αₚ就等于 cₚ。

日本数学家谷山丰基于此提出了一个一般性的想法：上述的模式可能对于所有的椭圆曲线都有效！这之后，志村五郎将谷山丰的想法提炼成严格的数学命题：

●每个椭圆曲线都可以模形式化，即椭圆曲线的p-亏量具有模性模式。

这是有名的模猜想，又称谷山-志村猜想。它是椭圆曲线最深刻的结论之一！

模性模式粗略的说就是和上面E₂的模定理差不多：对于任意的椭圆曲线E，都存在着一个无穷级数 θ＝c₁T＋c₂T²＋c₃T³＋c₄T⁴＋. . . . . . ，使得对大多数素数p，系数cₚ等于E的p-亏量αₚ，并且该级数拥有复数意义下的某种优美的变换性质。

这就是椭圆曲线E的P-亏量的模性模式！有了这个绝对的杀手锏，现在我们来攻克费马大定理。

费马大定理是说：对于n≥3，丢番图方程 A⏴＋B⏴＝C⏴没有非零整数解。

因为n是＞2的整数，那么它只有素数和合数两种类型，现在令n是合数，即n=pm，m是某个正整数。每个合数都能写成这样，这是算术基本定理保证的。费马方程在合数指数的情况下就变为 (Aᵐ)ᵖ＋(Bᵐ)ᵖ＝(Cᵐ)ᵖ 。因为最外层的指数是素数，那么如果费马方程在这种情况下有解，显然A、B、C就是对应的合数指数mp的解。又因为p是任选的，所以只要素数指数有解，那么合数指数一定有解。

反之，如果任意素数指数都没有解，那么任意一个以该素数为因数的合数指数也没有解【如果你不理解这个命题，可以用反证法，假设合数指数mp有解A、B、C，那么该指数的方程就是 Aᵐᵖ＋Bᵐᵖ＝Cᵐᵖ ，也就是(Aᵐ)ᵖ＋(Bᵐ)ᵖ＝(Cᵐ)ᵖ ，它意味着指数p是有解的，矛盾】，从而整个≥3的所有整数指数都没有解。因此我们只看素数指数就行。

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