费马大定理 (5-2)

这个划分的意思就是对于任意的整数x，它一定与0、1、2、3中的一个数模4同余，写成表达式就是 x ≡ k(mod4) ，x取体整数，k取0、1、2、3。

那么在该分类中，你对于素数的分布发现什么规律了？奇素数都在［1］和［3］当中，对吧，这样我们就用mod 4对全体奇素数做了分类。

现在我们要把mod p用到椭圆线上，也就是要在模算术的意义下去计算椭圆曲线上的点。用我们的例子E₁：y²=x³+x来说就是我们要计算 y²＝x³＋x(modp) ，其中的点要在模p的意义下符合E₁的方程。这些点都是非负整数点。

E₁在mod 2下只有两个这样的点(0,0)和(1,0)，而在mod3下，它只有三个点(0,0)、(2,1)、(2,2)，之后再顺次取相应的素数p，我们发现mod p下点的个数，有时也是某个素数，但未必是mod p的那个p。为了讨论方便我们引进一个符号Nₚ，表示mod p下椭圆曲线E上点的个数。我们列出19以内E₁的p与Nₚ：

p：2，3，5，7，11，13，17，19

Nₚ ：2，3，3，7，11，19，15，19

这些Nₚ有些是等于p的，而有些不是。把Nₚ中那些是素数的数拿出来，发现除了2以外，如果按照上面mod 4对奇素数的分类， p=Nₚ的这些p正好在集合[3]中【当然了，我们举例的数字比较少，不过，你往后列，素数依旧是[3]中的】，因此我们有下述定理的上半部分：

●如果 p ≡ 3(mod4) ，那么椭圆曲线E₁模p的点的个数恰好为Nₚ=p。

为啥这只是定理的上半部分呢？很显然，mod 4对于奇素数的分类还有[1]，即满足p≡1(mod 4)的那些p。然而下半部分定理的规律要复杂很多：

●如果 p ≡ 1(mod4) ，记 p＝A²＋B² ，其中A为正奇数，则Nₚ=p±2A，其中在 A ≡ 1(mod4) 时取负号，在 A ≡ 3(mod4) 时取正号。

不要害怕定理的下半部分，重要的不是定理的含义，而是概念Nₚ=p±2A。在一般意义上我们引出了由此定义的一个核心概念： αₚ＝p – Nₚ ，称之为p-亏量。定理下半部分的性质实际上是在描述p-亏量的某种规律。

p-亏量这个名称只是一个临时名字，他的真正名字特别适合摆谱用，叫"椭圆曲线p进上同调上的弗罗贝尼乌斯迹"。【这里说个好玩的，相信我，大约90%的普通人读这句话的时候，断句都是不正确的，它应该这么断：椭圆曲线/p进/上同调上的/弗罗贝尼乌斯/迹。p进是指p进数域，这是一个数论名称，上同调是一个代数概念。发现没有，对于数学来说即便每一个字都是中文，能不能理解意思先不说，想正确断句都是不容易的。说这些只是让你对这个深奥的领域有个印象，不要被网上的民科误导，以为所有的数论内容不是哥猜、孪猜就是黎猜】亏量是形象且易懂的，他就是说两个数相差的值，而所谓的弗罗贝尼乌斯迹，显然是在表明该概念虽然简单，但是它却诞生于更加复杂的数学理论中。

不过有一点需要注意，定理真实的发现与证明过程与我们的讲述过程正好相反，一般来说，像这种数论命题都是先进行大量的数值运算，然后检查得到结果的某种分布规律，提出相应的猜想，最后去证明。因此对于E₁的模p的点，我们是先提出p-亏量的概念，然后去计算，最后是发现该规律从而再证明的。

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