费马大定理 (5-1)

Fermat's Last Theorem，费马的最后定理，这是它的英文直译，也是比较严谨的“官称”，中文翻译“费马大定理”。之所以叫“最后定理”，不是说，这是费马有生之年提出的最后一个定理，而是，这是费马一生提出的众多猜想当中，最后一个未被验证的。当然了，现在它不再是猜想，而是真正的费马最后定理。出于我们的阅读习惯，后文仍旧称之为“费马大定理”。

费马和拉马努金类似，在证明的看重方面比亚瑟·凯莱还差一些。凯莱虽然不太看中证明，但他知道证明的重要性，只是他更愿意提出新概念，比如行列式、矩阵等。费马和拉马努金则完全不同，费马号称“业余数学家之王”，他提出过很多的命题，但都不去证明。据说除了费马数 2²ⁿ＋1 以外，其它被验证的猜想都是正确的，包括他“最后的定理”。我知道的信息并不权威，传说，费马在费马数的结论上也是有所怀疑的，他没有完全确定那个公式导出的都是素数。如果这是真的，那就意味着他有超人般的数论直觉，与拉马努金不相上下。

关于大定理，费马有耳熟能详的传奇故事：将一个立方数分解成两个立方数之和，或一个四次方数分成两个四次方数之和，或者更一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。对此我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下！

现在几乎没人相信费马真的有过这样的证明。虽然没有定理表明费马大定理不能在初等意义下被证明，但是我们已有的解决方案显示，这不是费马所处时代的数学可以解决的。因此，可以比较靠谱的估计，用初等方式证明该定理的概率不会超过1%。

下面我们开始讨论证明主线，不用太担心，我们选择的讲述内容涉及的概念都不算困难。

证明它的路线所用的主要工具是所谓的椭圆曲线，它的一般形式如下：

y²=ax³+bx²+c，其中a、b、c都是给定的值。

椭圆曲线不是椭圆，它们是数学家在计算椭圆周长时出现的。之所以一说它就把归为所谓的“代数几何”，那是因为，椭圆曲线其实是一个不相宜的名字，它诞生于所谓的“代数簇”，这有点像解析几何上的曲面，只不过代数簇是代数几何的“曲面”。既然它诞生于代数簇，那么它的标准称呼就是“一维阿贝尔簇”，你看，这回够“代数几何”了吧。

看它的方程，似乎有点像三次函数，但是它的“因变量y”是二次的。它不算太复杂，但肯定比一元三次方程复杂，尤其是它的判别式。我们需要两个特殊的椭圆曲线用作后面的例子，它们是

E₁：y²=x³+x

E₂：y²=x³-4x²+16

它们的图像分别是图一和图二。

第一个比较重要的概念就是所谓的椭圆曲线上模p的点。从现在开始字母p就代表素数，以后不再重复强调。

在基本素养这块你至少应该知道模算术的一些概念，比如 x ≡ 1(mod4) 的含义，它读作x与1模4同余，意思是说x-1是4的整数倍，即x-1=k·4，k∈Z，Z是整数集。在下面叙述中，模p和mod p是一个意思。

另外你还应该知道mod n，n＞2时是对Z的一种实用的划分，我们重点关注mod 4。它把Z划分成如下四个子集【我们只看非负的元素】，利用上面的模算术的公式，你能得到它们的元素分别是：

［0］=0，4，8，12，16，…

［1］=1，5，9，13，17，…

［2］=2，6，10，14，18，…

［3］=3，7，11，15，19，…

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