几何 (2-1)

我们跳到1945-1954年，基于几何学的两个重要发展，年轻的Hirzebruch所做的工作。第一个发展，是由Leray发起的层论。第二个发展，是Thom的论文中的一些结果，特别是一些关于光滑流形的同胚群。我们陈述了Hirzebruch的两个主要结果，这些结果在[H1]中有详述。

设X 是一个复维度为 n 的非奇异射影代数簇，并且 V → Ⅹ 是一个全纯向量丛。（在我们对曲线的讨论中，我们使用了除子；回想一个除子决定了一个全纯线丛，与我们这里的表述建立了联系。）然后，经过层论定义上同调群 Hq(X，V)：H⁰(X，V) 是全纯截面 V → X 的向量空间，并且对于 q≥1，Hq(X，V) 是从 V → X 的全纯截面层的解析得出。上同调群是有限维的，这能够用椭圆微分算子理论和Dolbeault定理证明。（见§3.1-§3.2.）欧拉示性数定义为交错和

ₙ

(2.3)χ(X，V)＝∑(–1)q dim Hq (X，V)

q＝0

对于n＝1 的黎曼曲面的情况，人们经常想要计算 dim H⁰(X，V) ，但一般来说 dim H⁰(X，V) 依赖的比拓扑数据更多。另一方面，欧拉示性数 χ(X，V) 有一个用 Chern 类 cⱼ(X) 和 cₖ(V) 表示的拓扑公式。特殊情况下，当 dim X＝rankV＝1 时，这是经典的Riemann-Roch公式 (2.2) 。对于 X 是一个光滑的射影代数曲面 (n＝2)，并且 V → X 是秩为1的平凡丛，其结果通常被称为Noether公式：

1

(2.4)χ(X)＝── (c²₁(X)＋c₂(X))χ(X) .

12

在(2.4) 中，Chern类是在由自然定向所给出的 X 的基本类上估计的。分母中存在的12给出了投影曲面的Chern数一个整性定理。对于所有 X 和 V ，解决Riemann-Roch问题——也就是 (2.3) 的计算——是Hirzebruch的重要成就之一。Hirzebruch的公式是用Todd多项式和Chern特征表达的。假设切向量丛 τX＝L₁ ⨁ · · · ⨁ Lₙ ，分解为线丛的直和，并且设 yᵢ＝c₁(Lᵢ) ∈ H²(X；ℤ) 。那么Todd类是

ₙ yᵢ

(2.5) Todd(X)＝∏ ────

ᵢ₌₁ 1 – e⁻ʸⁱ

这是一个（混合的）偶度数的上同调类。类似地，如果V＝K₁ ⨁ · · · ⨁ Kᵣ 是线丛的直和，有 xᵢ＝c₁(Kᵢ) ，那么Chern特征是

ᵣ

(2.6) ch(V)＝∑ eˣⁱ .

ᵢ₌₁

特征类理论中的分解原理允许我们将这些定义推广到不是线丛直和的ТX → X 和 V → X 。

定理 2.7（Hirzebruch-Riemann-Roch）设X 是一个射影复流形， V → X 是一个全纯向量丛。那么

(2.8)χ(X，V)＝Todd(X) · ch(V) · r(X) .

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