几何 (2-2)

Hirzebruch的第二个主要定理，是证明定理2.7的一个步骤，现在被称为Hirzebruch的符号定理。设Ⅹ 是一个对于 k 是正整数，维数为 4k 的闭合的、有向的、实可微流形。于是在中间上同调 H²ᵏ(X；ℝ) 上存在一个非退化的对称双线性配对，杯积后再对基本类估计给出：

(2.9)H²ᵏ(X；ℝ) ⨂ H²ᵏ(X；ℝ) → ℝ ⨂ α₁ ⨂ α₂ ↦ 〈α₁∪α₂〉x .

这个配对的符号Sign(Ⅹ) 被称为 (X) 的符号。（在旧文献中，术语‘指标’被用来代替‘符号’。）Hirzebruch定义了 L 类作为 X 的Pontrjagin类的多项式，由形式表达式确定：

₂ₖ yᵢ

(2.10) L(Ⅹ)＝∏ ────

ᵢ₌₁ tanh(yᵢ)

yᵢ，ˉyᵢ 是复切向量丛的Chern根。这与公式 (2.5) 相似：在复切向量丛 τX ⨂ ℂ → X 分解为复线丛的直和的情况下，首先定义 L(X) 。

定理 2.11（Hirzebruch符号定理）一个闭合的、有向的、光滑的流形X 的符号是

(2.12) Sign(X)＝L(Ⅹ)[X] .

Hirzebruch的证明用一种基本的方式使用了Thom的同胚理论[T1]。(2.12) 的两边在有向同胚下是不变的，并且是乘性的；对于符号，前边是Thom定理[T2,§ IV]。因此，需要经过Thom计算过的有向同胚环的一组（有理数）生成元来验证 (2.12) 。偶数维的射影空间 ℂℙ²ⁿ 提供了一组方便的生成元，并且以观察到 L 类在这些生成元上估计为1作为证明结果。Todd类以类似的方式进入定理2.7的证明——它的值在所有射影空间 ℂℙ²ⁿ 上为1，并且它是由这个性质来表征的。

注1：Riemann 证明了不等式 dimL(D) ≥ deg D – g＋1，之后，Roch 证明了更精确的 (2.2) 。遗憾的是，Roch 在 26 岁时因结核病去世，就在 39 岁的 Riemann 因同样的疾病去世的几个月后 。

注2：Thom、Hirzebruch 和许多其他人使用 "同胚" 代替 "同伦"；Atiyah [A10] 澄清了这个关系。

注3：总的Pontrjagin类 p(X)＝1＋p₁(X)＋p₂(X)＋· · · 是由表达式

∞

∑ (1＋y²ᵢ)定义的。

ᵢ₌₁

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