皮亚诺公理 (4-1)

在许多人看来，1+1=2，这是常识，不需要证明。

一个苹果和另一个放在一起，那就是两个苹果。一个人和另一个人放在一起，那就是两个人。

虽然一滴水和另一滴放在一起，会变成一滴水，而不是两滴水，不过这也只是称呼的问题。我们只要说，一克水和另一克混合在一起，会变成两克水，这就可以了。

但是，数学家们并不满足于常识。他们依然想要构造出一个公理系统，来证明1+1=2。

关于自然数的加减乘除这四则运算，数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）建构的公理系统最为出名。接下来，就让我们来领略皮亚诺公理的魅力吧。

假装自己什么都不知道

首先，我们需要假定自己不是地球人，而是外星人，而且是那种从来没有学过数学的外星人。

这一步有点困难，因为假扮一个外星人，强求我们假装自己不知道那些明明已经知道的东西，但我希望大家还是努努力。

如果你不假装自己什么都不知道，那你就不会知道公理系统有多重要。同时，你也很难体会到皮亚诺公理有多美。

皮亚诺的五条公理

现在，假定我们已经什么都不知道了。现在再来看皮亚诺的那5条公理：

一：1是自然数。

二：任何自然数都有一个邻居，我们称之为这个自然数的后继数，它也是个自然数。

三：任何自然数的后继数都不是1。

四：任意挑选出两个自然数，就称呼其中一个为a，另一个为b。如果a的后继数和b的后继数刚好是同一个数。那么，a和b其实不是两个不同的自然数，而是同一个自然数。

五：假设自然数1有一个特点。而且，如果任意自然数n有这个特点，那么n的后继数也有这个特点。由前两句话就可以得出，所有自然数都有这个特点。

作为外星人，匆匆一瞥，我们肯定看不懂这五条公理究竟在说什么。所以，让我们来逐条欣赏它们的含义。

第一条公理

第一条公理非常简单，它的意思就是说，1这个数啊，它算是自然数。或者说，假设自然数是一个俱乐部，那么1这个数就是这个俱乐部的成员。

注意，这条公理并没有说，1是不是这个自然数俱乐部的唯一成员。目前，关于自然数俱乐部，我们所知甚少。至少现在，我们只知道1是其中一员。

第二条公理

现在，我们来看第二条公理。这条公理就更值得品味了。它说，任何自然数都有一个邻居，我们称之为这个自然数的后继数，它也是个自然数。我们可以猜想，自然数这个俱乐部的成员，其实都很怕寂寞。每个成员都要和邻居住在一起，而且那个邻居也是自然数。

如果把第一条公理和第二条公理结合在一起，我们会发现什么呢？

1是自然数的一员，1也很怕寂寞，所以1也有个邻居。1这个数的邻居，为了方便称呼，就叫做“1的后继数”。而且，“1的后继数”这位邻居，本身也是自然数俱乐部的成员，它也是个自然数。

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