皮亚诺公理 (4-2)

现在，我们知道了，1在自然数俱乐部中并不是孤家寡人。这个俱乐部里头至少有两个成员，一个是1，另一个是“1的后继数”。

那么，现在让我们再来问一个问题。这个自然数俱乐部里，是不是只有两个成员呢？

当然不是。仔细看看第二条公理，它说的是任何自然数的后继数都是自然数。既然“1的后继数”也是自然数，那它也有个邻居，而且那个邻居也是后继数。

所以，现在我们知道了，自然数俱乐部里至少有三个成员：1，1的后继数，1的后继数的后继数。

运用同样的思路，不难发现，自然数俱乐部里其实有超多成员：1，1的后继数，1的后继数的后继数，1的后继数的后继数的后继数，1的后继数的后继数的后继数的后继数……

现在，我们已经知道了自然数俱乐部里，至少看起来有超多成员，虽然不知道具体有多少，但总之有很多就对了。

第三条公理

这条公理看似有些多余，它说，任何自然数的后继数都不是1。

但是，仔细想想的话，这条公理一点都不多余。你们看，第一条公理和第二条公理里头，都没有规定任何自然数的后继数都不是1。你们想，如果没有这条规定，那么俱乐部有可能是什么样子？

可能性就非常多了。自然数俱乐部甚至可能只有1这一个成员，1的后继数其实也是1，1的后继数的后继数还是1，看起来有很多成员，其实都只是1穿的不同马甲罢了。

自然数俱乐部里也可能只有2个成员。比如，只有1和1的后继数。如果不做出第三条公理中的规定，那么1的后继数的后继数可能就是1。整个俱乐部里，就只有这两个数抱团取暖。比如，1的后继数的后继数的后继数，其实就是1的后继数。整个俱乐部的成员其实都是这两个成员穿的不同马甲。

同理，自然数俱乐部里，也可能是3个成员，4个成员或5个成员，还可能是23456个成员，可能是938457234个成员。但是，这不是皮亚诺想要的自然数俱乐部。所以才有了第三条公理。

现在，我们知道了，自然数俱乐部里不知看起来有多个成员，实际上也有多个成员，而且，数量貌似还不少。

第四条公理

第四条公理说起来有点长。为了节约时间，让我们发明一些简便称呼。

我们可以把“诸葛孔明”直接称之为“亮”，这样可以节约读三个字的时间。所以，我们直接把1的后继数，写作1’。那么，1的后继数的后继数，就写作1’’。1的后继数的后继数的后继数，就是1’’’。这样做可以省下很多时间。

那么，这条公理也可以简单地说：如果a和b都是自然数，并且a’=b’，那么a=b。

大家想一想，皮亚诺为什么要搞这条公理呢？如果不搞这条公理，那么自然数俱乐部有可能是什么样子呢？

这样，我们假设每个自然数都特别阔气，它们单独都住一栋别墅。那么，皮亚诺心目中的自然数们的住宅，就是一排一直可以排列下去的超长联排别墅，一眼根本望不到头。

但是，现实生活中的联排别墅不一定是这种直线排列下去的。现实生活中的联排别墅也可以是一个圈。

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