数学联邦政治世界观
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哥德尔不完备定理

哥德尔不完备定理只是说(数学哲学上),自然数的标准模型𝕹=(ℕ,0,+,·,<) 的所有真相不可能被任何特定的递归理论完全描述出来,包括PA和ZFC,或者什么更强的公理体系,只要公理体系是递归的,就总是有 𝕹 的真相不能被导出。

或者更直观的:过于强大的数学结构没办法用递归可枚举的方式得到。

一个平凡的非递归的理论TA={σ:𝕹╞ σ} ,叫做Truth Arithmetic,它就是一个完备理论,而且它包含了自然数的所有真相。但是,它不可能是递归的,也就是说 TA 不可能被公理化。我们也没办法完全了解 TA 到底包含了多少定理,因为“真”这个概念是高度不可定义的,它在很大程度上取决于你的哲学偏好。

但是,人们就应该因为这个而停止不前吗?当然不是!人们会因为一个人登不上珠穆朗玛峰而放弃登顶吗?哥德尔不完备定理中的“不可证”只是说相对于某个体系不可证,而不是完全不可证。比如,PA不能证明Con(PA) 、古德斯坦定理、增强的Ramsey定理,但这不代表他们完全不能被证明。事实上,只要我们承认 ε₀ 这个无穷序数的存在,那么上面三个命题都是可以被证明的[ZF]。

如果反过来,设想哥德尔不完备定理是错误的,那么数学会变成什么样子?情况会比想象的更糟糕,这意味着数学的真相可以完全用机械的步骤一一列举出来,人的作用将被机器完全取代,数学从此被纳入到计算机的子类中。这下真的是世界的尽头是计算机了。

正是因为理论是不完备的,我们才能声称数学是发展的,运动的,它存在于每一个数学工作者的数学实践中,并且将会得到永恒的发展。

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