拓扑 (5-4)

早在1981年H. B. Nielsen和M. Ninomiya就已经证明了晶格体系中可以存在手性元激发（外尔费米子），但不同手性的必须成对出现（Nucl. Phys. B 185, 20 (1981)）。X. Wan等人通过DFT计算首次提出Y2Ir2O7能带中存在外尔点，可能存在外尔费米子型激发（Phys. Rev. B 83, 205101 (2011)）。随后G. Xu等人发现HgCr2Se4也是一个这样的外尔半金属（Phys. Rev. Lett. 107, 1 (2011)）。这两个体系均破缺了时间反演对称性，具有磁性，因此难以试验检测。随后H. Weng等人提出破缺了空间反演对称性的体系TaAs、TaP、NbAs和NbP中也存在外尔费米子型激发（Phys. Rev. X 5, 1 (2015)）。

在绝缘体中，人们关心的拓扑不变量通常来自于整个布里渊区的贡献，但在半金属中，人们关心的是通过费米面上的量构造的拓扑不变量。例如在外尔半金属中，能带贝利曲率在整个费米面上的面积分是2πi 的整数倍。对于线性色散的外尔半金属，这个整数只能是 ±1 ，也就是这个外尔点的手性。但C. Fang等人指出，当外尔点在系统高对称线上并被某些旋转对称性保护时，包裹外尔点的费米面陈数可以大于1，此时低能激发仍有手性，但色散关系不再是线性（Phys. Rev. Lett. 108, 266802 (2012)）。

人们早就认识到石墨烯中存在狄拉克费米子型激发，因此人们也希望可以在三维体系中找到狄拉克费米子型激发。Z. Wang等人提出A3B(A=Na,K,Rb)体系中可能存在无质量狄拉克费米子型激发（Phys. Rev. B 85, 195320 (2012)），随后他们提出Cd3As2中也存在这样的激发（Phys. Rev. B 88, 125427 (2013)）。实验很快跟进并验证了他们的理论（Science 343, 864 (2014)， Nat. Mater. 13, 677 (2014)）。但不同于外尔点，狄拉克点很容易因为微扰打开能隙，为了保证狄拉克点稳定性，这些体系通常要求额外的晶体对称性保护。B.-J. Yang and N. Nagaosa分类了三维系统中晶体对称性保护下可能存在的四重简并的费米子型激发（Nat. Commun. 5, 4898 (2014)）。

半金属中，导带与价带接触除了外尔、狄拉克半金属中的点接触，还可能是线接触，基于此，人们也提出了nodal line半金属的概念（Phys. Rev. B 84, 235126 (2011)），nodal line的稳定存在性通常由mirror或者PT对称性保证。更多关于nodal line半金属的内容可以参考综述：Chinese Phys. B 25, 117106 (2016)。

这一阶段，人们兴趣点除了转向半金属系统，也开始开始更加关心晶体点群对称性可能带来的能带拓扑性质。关于这一阶段的总结，可以参考综述：

[4] C.-K. Chiu, J. C. Y. Teo, A. P. Schnyder, and S. Ryu, Rev. Mod. Phys. 88, 035005 (2016).

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