拓扑 (5-3)

与此同时，C. Liu, X. Qi, X. Dai, Z. Fang, and S. Zhang等人也在思考如何得到量子反常霍尔效应，即通过材料本身的磁性而非外磁场得到量子化的霍尔电导平台，起初他们提出或许可以在量子自旋霍尔效应中进行磁性掺杂破坏掉时间反演来实现（Phys. Rev. Lett. 101, 146802 (2008)）。随着3DTI的发现，他们发现直接在3DTI中进行磁性掺杂似乎是更有效的方法（Science 329, 61 (2010)）。随后薛其坤团队采用了此方法，并终于首次实现了量子反常霍尔效应（Science 340, 167 (2013)）。

有很多综述很好的总结了这一段时间领域的发展历程：

[1] M. Z. Hasan and C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010).

[2] X.-L. Qi and S.-C. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011).

输运

前面提到贝利相为概念提出后，人们恍然发现，线性响应中用于计算电导的Kubo公式竟然可以写成能带的贝利相为在整个布里渊区的积分。

为了论证这一结论的普遍性，G. Sundaram and Q. Niu利用波包动力学的方法，重新研究了能带贝利曲率对体系输运性质的影响，并给出了贝利曲率一阶修正下波包(k，r) 的运动方程（Phys. Rev. B 59, 14915 (1999)）。在该理论下，反常霍尔电导实际上时贝利曲率在所有占据态上的积分。随后Z. Fang等人在SrRuO3中计算了贝利曲率的积分并与材料的反常霍尔电导进行对比，为该半经典输运理论提供了有力的论据（Science 302, 92 (2003)）。

在G. Sundaram and Q. Niu 1999年那篇文章中，他们也研究了贝利曲率对相空间半经典轨道的影响（即轨道贝利曲率对Bohr-Sommerfeld量子化条件的修正）。

随后D. Xiao, J. Shi, and Q. Niu进一步研究了贝利曲率对相空间态密度的修正，结合玻尔兹曼方程，给出了完整的贝利曲率修正下的半经典输运理论（Phys. Rev. Lett. 95, 137204 (2005)）。

关于贝利曲率与半经典输运理论，可以参考综述：

[3] D. Xiao, M.-C. Chang, and Q. Niu, Rev. Mod. Phys. 82, 1959 (2010).

第二阶段（2010前后-2017）

形式理论

3DTI提出后不久，人们关心的对象就绝缘体转向了无能隙的体系。

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