拓扑 (5-2)

TKNN数某种意义上以经有一点拓扑的意思了，但想要更清楚的看出这一点，离不开Berry Phase概念的提出（Proc. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci. 392, 45 (1984)）。一旦有了Berry Phase和Berry Curvature的概念，我们重新看TKNN理论中用到的计算电导的公式，立马发现其正是Berry Curvature在整个布里渊区（一个二维流形）上的积分，其值一定是2πi 的整数倍，这个数在数学中通常称为陈数，从而我们便有了陈绝缘体的概念。

1997年， A. Altland and M. R. Zirnbauer基于时间反演、手性对称性和粒子空穴对称性给出了多粒子体系的十重分类（Phys. Rev. B 55, 1142 (1997)），每一个类别中体系可以由一个整数或是奇偶数来标记。此时人们发现量子霍尔效应体系中的整数量子霍尔电导/TKNN数/陈数实际上就对应了十重分类中的A类。在此基础上，人们自然就会思考，其他类别中的那些整数/奇偶数又可以对应什么现象呢？

2001年Kitaev给出了他著名的Kitave Chain模型（Physics-Uspekhi 44, 131 (2001)），这个模型描述了了一个一维超导系统，在该系统端点可以出现Majorana零能模。而这个体系属于AZ十重分类中的D类，D类在一维可以由一个ℤ₂ 数刻画，具体到Kitave Chain模型就是零能模的有无。

2005年Kane和Mele提出了ℤ₂ 拓扑绝缘体的概念并指出了及其与量子自旋霍尔效的关联（Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005)、 Phys. Rev. Lett. 95, 146802 (2005)）。前边提到量子化的霍尔电导/陈数来自于体系时间反演对称性的破坏。因此对于有时间反演对称性的体系，陈数总是0。但时间反演对称性的存在，可以让我们对所有的能带按照时间反演本征值进行分类，可以预见，对两类能带分别计算陈数可以得到两个互为相反数的整数。那么这个整数的奇偶性就可以用来刻画这样一个体系。实际上这样的体系属于AZ十重分类的AII类，确实可以用一个 ℤ₂ 数/奇偶数来描述。

X. L. Qi, Y.-S. Wu and S.-C. Zhang三人也做出了类似的工作（Phys. Rev. B 74, 085308 (2006)）。在此基础上Bernevig, T. L. Hughes, and S.-C. Zhang提出可以在HgTe量子阱结构中实现量子自旋霍尔效应（ Science 314, 1757 (2006)）。

随后L. Fu, C. L. Kane, and E. J. Mele考虑了量子自旋霍尔效应在三维的推广，并提出了三维拓扑绝缘体的概念（Phys. Rev. Lett. 98, 106803 (2007)）。他们建议用四个ℤ₂ 数来刻画三维体系，这篇文章中他们给出了在有空间反演对称性的系统中这些 ℤ₂ 数的简单计算公式。在随后文章（Phys. Rev. B 78, 045426 (2008)），他们提出了可能实现的该三维拓扑绝缘体的材料 Bi₁₋ₓSbₓ ，并很快在实验中得以验证（Nature 452, 970 (2008)）。随后H. Zhang, C.-X. Liu等人提出了一大类可以实现3DTI的材料： Bi₂Se₃，Bi₂Te₃，Sb₂Te₃ (Nat. Phys. 5, 438 (2009))。

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