拓扑 (5-1)

个人觉得拓扑能带17年之前理论的发展大概可以以(Bi/Sb)(Se/Te)拓扑绝缘体体系的提出（Nat. Phys. 5, 438 (2009)）以及量子反常霍尔效应的实验实现（Science 340, 167 (2013)）为界分为前后两个阶段。每个阶段又大致上有两条发展路线：一条主要偏向于形式理论，如提出拓扑绝缘体、拓扑半金属等概念以及试图对材料进行拓扑分类；另一条则更加关心体系的输运，如研究能带贝利曲率对输运性质的影响，指出拓扑材料中的反常磁振荡等。

第零阶段

一切都始于量子霍尔效应的发现（Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)），K. v. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper在材料中实现了“二维电子气”，并通过测量霍尔电导，发现了e²/h 整数倍的霍尔电导平台。随后Laughlin利用Gauge Invariance Argument为二维电子气的整数霍尔电导给出了完美的解释（Phys. Rev. B 23, 5632 (1981)）。

然而真实的材料中并非完美的二维电子气，TKNN四人考虑了位于磁场和晶格周期势中的二维电子气，并发现当元胞磁通为有理数时，同样可以得到整数量子霍尔电导平台（Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982)），这个结论很大程度上依赖于计算电导的线性相应公式Kubo公式‬

ie²

σʜ＝── ∑ ∑

A₀ ℏεα＜Eғ εβ＞Eғ

(∂ₖ₁Hαβ)(∂ₖ₂Hβα) – (∂ₖ₂Hαβ)(∂ₖ₁Hβα)

─────────────────

(εα – εβ)²

通过一些列推导，Kubo公式可以被化为

ie²

σʜ＝── ∑ ↓

2πh occ.bαnd

∫ d²k ∫ d²r (∂ₖ₁u* • ∂ₖ₂u – ∂ₖ₂u* • ∂ₖ₁u)

的形式，其中uₖ(r) 是类Bloch函数的准周期部分（有理数磁通的磁场改变了周期势的周期）。他们证明了当费米能级落在能隙中时，上式的积分是 2πi 的整数倍，从而给出了整数霍尔电导平台。

随后Haldane提出了他的Haldane Model（ Phys. Rev. Lett. 61, 2015 (1988)），并指出量子化霍尔电导出现的根本原因并非净的外磁场，而是体系时间反演对称性的破坏。净的外磁场确实可以破坏时间反演对称性，但除此之外还可以是材料本身的磁性造成的。这篇文章中还根据其模型的参数画出了是否为量子霍尔效应态的相图。

第一阶段（1980前后-2010前后）

形式理论

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