数学 (3-3)

1821年柯西利用有理数序列的极限定义无理数，但依他的定义，该极限应是预先确定的数，只不过要求它与序列中的项之差趋于零而已。这实际上是一个循环定义。无理数的算术定义，必须在逻辑上无矛盾才行。G·康托尔在1872年用有理数的“基本序列”来定义无理数，把有理数基本序列的集合关于一种等价关系（具有同一极限）的等价数叫做实数，所有实数构成的集合记为R。对有理数a，令序列{a，a，…}所在的等价类与之相对应，就能在实数集中找到一个子集ˉQ与有理数集Q同构，ˉQ的元素也被称为有理数，不是有理数的实数被称为无理数。同一年，戴德金采用了对有理数进行划分的方法定义无理数，他还进一步证明了实数的连续性，外尔斯特拉斯于1860年提出了用递增有界数列来定义实数的思想，恰巧也在1872年，他的学生利萨克正式发表了他的定义。

1844，刘维尔开创了超越数研究。1874年，随着G·康托尔引入“可数”概念，人们发现，作为代数方程的根的无理数只是无理数的极小的部分，“几乎所有”的实数是都是超越数。

综上所述，人们在理解有理数的基础上定义出无理数，有理数本身却是未加严格定义的，定义无理数的需要无疑促使了对有理数的研究。1860年，外尔斯特拉斯在一次讲课时，用自然数的有序对定义出正有理数，用另一类型的自然数对定义负整数，再用一对正负整数来定义负有理数。稍加改进，就是现代采用的有理数定义方法。外尔斯特拉斯认为，只要承认自然数，建立数的理论就不需要进一步的公理了。他认为，自然数的本质和属性不能再作逻辑分析了。持这种观点的典型代表是克罗内克，1886他曾说过：“上帝创造了自然数，其余都是人做的工作。”但在19世纪末数学基础的研究中，人们还是要求证明自然数的无矛盾性——即对自然数加以准确的逻辑分析和定义。1889年，皮亚诺运用集合论思想给出了自然数的一个一个定义。皮亚诺的定义是所谓“序数”定义；G·康托尔等人则给出自然数的“基数”定义，当然，二者是等价的。至此，人们对数的认识画上了一个巨大的圆圈（从自然数到自然数），达到了新的层次。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。