数学 (3-2)

并创用十进分数逐次逼近法。印度人也早就认识到开方不尽数，婆什伽罗等人把无理数视为与有理数一样的数，统一进行处理，这是一大成就。中世纪后期，东方数学传入欧洲，欧洲数学向代数学转化，方程理论成为中心研究课题。16世纪中叶，塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里等人解决了三次、四次方程的求解问题。这时，由于解高次方程的需要，人们经常遇到开方不尽数，但对其认识却较缓慢，施蒂费尔（16世纪）虽然运用过形式复杂的无理数，但认为它们不是真正的数，甚至帕斯卡、巴罗等数学家也认为不尽根√3是“不可解释的”，直到沃里斯、斯蒂文（17世纪）等人才承认无理数是一种实在的数。虽然如此，由于实际的数学工作的需要，在16-17世纪，人们在实际的数学计算中，已承认正数的任何次方方根的存在，对某些无理数的研究已达到相当充分的程度。

研究方程求解，免不了要遇到负数开偶次方的问题。1484年，许凯首先注意到这一问题，他在解二次方程4＋x²＝3x时得到根

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x＝─ ± √2─ – 4，

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他认为这是不可能的。1545年，卡尔达诺认真研究了这种情况，他给出负数开平方的运算方法，并引入最早的虚数记号，但称这种数为“诡辩量”，并怀疑其运算的合法性。1637年，笛卡尔在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，和“实数”相对应。但对于怎样理解虚数，又产生了很大的争议。1797年，韦塞尔给出虚数的几何解释。1799年，高斯提出“复数”概念并给出复数的几何表示法；1801年，他系统使用i表示[公式]（最先是欧拉采用的，但未流行），并用a+bi（a，b为实数）表示复数。后来，高斯又提出用实数的有序对(a，b)表示a+bi，用纯代数方法定义了复数的运算。这一思想由哈密顿于1837年发表出来。人们把数的概念扩张到复数。

哈密顿认真研究了从实数扩张到复数的过程。类比于此，他于1843年提出“四元数”的概念：把复数的有序对(α，β)定义为一个四元数。其后不久，凯莱又用四元数的有序对定义八元数。它们都被称为“超复数”。于是产生了两个问题：数的概念的扩张准则是什么？数的概念能否无限制地扩张下去？人们深入研究了这些问题，1867年汉克尔提出了数的扩张原则（固本原则），大意是：数的概念的扩张是为了满足某种代数运算的需要；扩张的结果必须保持原来的运算都能继续进行（保持各种算律）；扩张所得得新数集中必有一个子集与原来得数集同构。他指出，复数是满足固本原则进行扩张所能得到的最大的数集，六种代数运算可在复数范围内自由实施，n次代数方程在复数域内有n个根；再向超复数扩张，就不能满足固本原则了：四元数的乘法不满足交换律；八元数的乘法既不满足交换律，又不满足结合律。如果舍弃更多的运算性质，超复数还可以扩张到十六元数、三十二元素等。

从自然数到复数构成了通常所说的“数系”，即包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统，这些数之间有如下关系：

自然数零 整数 有理数 实数

} } } } 复数

负整数 分数 无理数 虚数

18世纪数学分析的大发展促使人们对分析基础的研究，分析基础问题最根本的就是实数理论的问题。从19世纪初开始，人们致力于建立实数理论，而实数理论，本质上就是无理数的定义问题。

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