数学 (3-1)

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝主编 [P731]

数（number） 最基本的数学概念之一。通常包括自然数、整数、有理数、实数复数以及在它们的基础上形成的其他概念，例如代数数、超越数、四元数、八元数等等。

数的概念具有悠久的历史，尤其是自然数观念的产生当在史前时期。在中国史前文化遗存的陶器刻符中就有数字，说明早已形成数的观念了。数的观念产生的详情现在已无法追溯，但严谨的数的理论，尤其是自然数理论，却直到19世纪末才建立起来。

一般认为，原始人在用匹配法计数及考察动作的顺序时就产生了自然数概念，在自然数概念产生的同时，也产生了自然数的运算——算术四则运算，在一定程度上可以说，自然数概念的完善也依赖于数的运算。进行除法运算，即求解方程ax=b(a≠0)，a，b为自然数，方程未必有自然数解，要使它恒有解，也就是使除法运算得以顺利进行，数的概念就要由自然数扩张到正有理数。巴比伦的泥板、古埃及的纸草书中就已有了自然数和分数，中国古代的《周髀算经》给出了分数运算的方法。可见在人类进入文明之初就已有了自然数和分数（即正有理数）的概念。

中国人最先引进负数概念，《九章算术》“方程”章的“正负术”进一步给出了负数的加减运算法则。如果说《九章算术》还仅限于负整数的话，宋元时人们解高次方程就涉及到负有理数了。印度人先提出零的概念（公元5世纪）和零号“0”（公元9世纪）。中国古人由于使用算筹记数，从而形成了独特的零的概念和记号（公元12世纪），其后，中国人开始了完整地认识整个有理数的过程。从解方程的角度看，中国古人一般不考虑负数解；第一个承认方程可以由负数解的是印度人婆什伽罗（12世纪），西方则是许凯最先在1484年给出二次方程的一个负根，后来才承认负数是数。

人们对（正）无理数的认识比对负数的认识早得多。当然，开始认识的只是一部分无理数，首先是一些非平方数的（正的）平方根。最著名的是古希腊的毕达哥拉斯学派（公元前6世纪）发现等腰直角三角形的直角边和斜边的长度不可公度，即直角边长为1的等腰直角三角形的斜边之长不是有理数。据说，他们还证明了这一点。这一点是严格的逻辑证明的结果。这是古代希腊数学的一个特点。为了与毕达哥拉斯学派的“万物皆数（整数及其比）”观点相协调，他们有意避开了非平方数的开方计算问题。中国古人很早就会作开方（开平方、开立方）运算，三国时刘徽已认识到开方不尽数，并且认识到可从不足和过剩两方面逼近开方不尽数，他的算法相当于给出两种开方近似公式：

r r

√α²＋r≈α＋─── √α²＋r≈α＋─

2α＋1 2α

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