欧拉公式的代数证明 (3-3)

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这个公式几乎可以看成欧拉的墓志铭，据说老爷子特别喜欢x=π时的结论，即eⁱπ＝–1 ，甚至它被刻到了他的墓碑上。欧拉可能是惊讶于左侧那种在复数意义下的非整数的初等运算，居然可以得到整数。虽然彼时欧拉还不能证明e和π的超越性，但基本可以确定它们的超越性倾向，从这个角度讲，因为i对于有理数系Q也是超越的，因此左侧的三个超越数以初等方式得到了一个代数数，而且还是个经典的整数，这确实挺神奇的。

后记：注意，初学者常犯的错误是以为V=M⊕N有“V中的元素不是M的就是N的”的结论，因为M和N每个都有零元，让它们分别各自取零元似乎就得到了这个结论。但显然这是不对的，因为我们还有没有零元参与的“M+N”类型的元素；而且V=M⊕N与V=M∪N是两个含义，前者是说，V的每个元素都可以唯一表示成子空间M和N的元素的和，它重点是说，这种表示是有“+”运算参与的，而V=M∪N才是说V的元素不是M的就是N的。还是以我们的空间V＝Vₑ ⨁ Vₒ 为例，显然 V ≠ Vₑ∪Vₒ ，因为sin(x)+cos(x)就既不是奇函数也不是偶函数，但它是实数值的连续函数，因而是V的元素。

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