代数 (2-1)

科普门槛：要有《高等数学》层次的分析和理解力，有线性代数的基本知识，最好有等价类和商集的知识。

“从代数的角度看分析”这个新奇而又强悍的视角只有真正的数学天才才能举重若轻，这是前苏联的代数大师沙法列维奇在他的书中给出的一个视角，我不是很能看懂，那需要非常深刻的抽象代数知识。人家说了，他只是在聊代数而不是在教代数，这一个聊字就结合了代数、几何、复分析等众多领域，我真是钦佩至极。

像我这种连小咖都算不上的爱好者，不敢说什么以高屋建瓴般从代数的角度解释什么是积分，我只是希望从科普的角度，用尽量简单代数知识重现积分的性质，给读者一种这样的感觉，原来积分是这样一种映射啊。然而，即使是这个小目标，我依然觉得难以达到，它需要你有商结构的基本知识【商集及其典范映射】，因此，我们的科普只能说是试着来。

我们说的积分主要是数学分析中的黎曼积分，它一般分定积分和不定积分，在代数的眼里，它们有些区别。

定积分是简单的，虽然具体计算时，定积分要比不定积分多一步，不过从代数角度，定积分【不算发散的反常积分】它就是一个数，或者函数，它无非就是两步操作，先求被积函数的原函数，然后赋值做减法。符号∫ᵇα()dx 和函数的符号F( )没啥区别，只不过前者你知道具体的计算过程和几何含义，后者是抽象的，你不知道它具体是什么而已。

因此，定积分是一种函数，而它要作用到某个函数上，我们管这种作用到函数上的函数叫“泛函”。定积分对两个求和的函数可以分别计算，即定积分对函数加法满足“分配律”；一个函数的实数倍数也可以提到定积分外面，这两个性质使得定积分本身可以被看做“向量”，因此，定积分是向量空间的元素。因为它又是泛函，所以这种向量空间是泛函所在的向量空间，它是无限维的。

对于两个函数的乘积，定积分不能同时分别所用，即设T是定积分，那么T(f·g)≠T(f)T(g)，因此我们不能推广定积分到名叫“代数”的代数结构上，它只能止步于向量空间。

现在我们看不定积分，这是本文的重点也是难点，我们确实不能保证所有爱好者都能看懂。

设V＝Cᵏ⁺¹(R) ，W＝Cᵏ(R)【k都是≥0】。R是实数集，V的含义是它是实数集上的、拥有k+1阶导数的函数的向量空间。W的情况类似。

令T是导数算子，也就是那个符号

d

─ ，

dx

它是一种映射T：V→W，V和W就是上面的那两个向量空间。T是线性映射，这我们不解释了，如果你学过导数，这应该很容易理解。下面证明映射T的核kerT=R。所谓映射T的核，指的就是满足T(x)=0的x的全体，0是向量空间W的加法幺元【其实就是常函数0】。T的核是V的一个子集。

证明：因为V是k+1阶可微函数的空间，W是k阶可微函数的空间，且0函数是W的幺元，那么T：V→W的核就是V中那些一次求导之后为0的函数的集合。根据导数的性质，核就应该是：全体常函数的集合【也就是常数，常数求导都为0】，即R。

下面我们说明T是满射。

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