欧拉公式的代数证明 (3-2)

回看我们对于平面R²的例子，为啥R²的一维子空间一定要过原点？这是向量空间的公理决定的。向量空间的加法在更高级别的代数意义下叫做“交换群”，交换与否暂且不提，群的结构就要求我们必须有所谓的“加法单位元”——零元。对于向量空间它就是常说的零向量。因为R²的一维子空间都是直线，它们都是实数轴，只不过不像经典的那条是水平的。它们的“零向量”都是实数0，因此所有的包含数0的直线才是R²的一维子空间，而数0在我们给定的坐标系下就是坐标系的原点。

集合{0}和R²是R²唯二的平凡子空间，一维子空间是非平凡的，也叫真子空间，对应集合上的非空真子集。{0}叫零空间。

零空间有什么用？V可以写成子空间M与N的“直和”而不只是“和”的充要条件就是：M与N生成V且M∩N={0}。换句话说，V可以表示成两个子空间的直和，要求这两个可以生成V的子空间只有0向量一个公共元素。我们以记号V=M⊕N记两个子空间的直和。如果V=M⊕N，那么V的每个元素都可以唯一地表示为M与N的和。

因此，某种程度上，直和比一般的和重要的地方就是所谓的唯一性！

按国内“线性代数”和“高等代数”的教材分类，只学线性代数是不知道直和概念的，因为它是高等代数的内容。

好了，有了直和这个工具，现在我们来证明欧拉的传奇定理。

证明：令向量空间V=C(R)，即，V是R上所有实数值连续函数的空间。令Vₑ 偶函数的子集合， Vₒ 是奇函数的集合。根据奇函数和偶函数各自的特点，它们各自在加法和数量乘法下封闭，它们也自然满足向量空间C(R)其它公理，因此， Vₑ Vₒ 都是C(R)的子空间。我们要证明： V＝Vₑ ⨁ Vₒ 。我们取V中的任意元素f(x)，考虑g(x)=(f(x)+f(-x))/2是偶函数，而h(x)=(f(x)-f(-x))/2是奇函数，反解f(x)，我们有f(x)=g(x)+h(x)。因为f(x)是任意的，这说明V中的任意元素都可以用 Vₑ Vₒ 的元素表示，即 V＝Vₑ＋Vₒ 。因为偶函数是f(-x)=f(x)类型，奇函数是f(-x)=-f(x)类型，如果 Vₑ Vₒ 有交集，那么一定存在同时“既奇又偶”的函数，按表达式就应该有f(-x)=f(x)=-f(x)，后一个等号显然表明f(x)=0，即“既奇又偶”的函数只有零函数——常数0，这说明 Vₑ∩Vₒ＝{0} 。根据我们前面的充要条件， V＝Vₑ ⨁ Vₒ 成立。

现在考察指数函数eʸ 【自变量通常用x表示，但其实都一样，我们把x留到最后的结论处】，我们仿照证明的第一部分，把 eʸ 看成函数f(x)，那么显然它有偶函数+奇函数的唯一的表示，即

eʸ＋e⁻ʸ eʸ – e⁻ʸ

eʸ＝───＋─── ↓

2 2

→=cosh(y)+sinh(y)。

cosh(y)与sinh(y)分别叫双曲余弦和双曲正弦，第二个等号是直接使用它们的定义。然后我们令y=ix，根据三角函数与双曲三角函数的变换公式cosh(ix)=cos(x)，sinh(ix)=i·sin(x)，我们就有：

eⁱˣ＝cos(x)＋i · sin(x) 。证毕。

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