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欧拉公式的代数证明 (3-1)

自然对数e的欧拉公式是初等数学的经典公式之一,即eⁱˣ=cos(x)+i · sin(x) 。我们来证明它。传统的证明方式,或者说经典的证明方式是把右侧的两个三角函数按幂级数展开,然后得到结果,严格意义上,我们需要考察每个级数的收敛性。

现在,我们用代数的方式证明它,避开敛散性问题。我们的主要工具是向量空间的扩展内容——直和分解。为了照顾更多基础较弱的爱好者,我们先叙述一些周边知识以及有用的结论,最后给出简明严谨的证明。

向量空间是代数学,尤其是线性代数的基本背景空间。现代数学在研究某个对象时,按集合论和“结构”的思想都会把它置于某个大集合中:我们在这个集合上赋予一些关系,比如、序、运算之类的,集合及其这些关系的“共同体”称为“结构”。为了与几何挂钩,我们需要让结构能与坐标系相容,而坐标系的要点之一就是所谓的相互垂直的坐标轴个数,相互垂直的含义体现为“独立”和“自由度”,它们更加有名的称呼叫维度!

结构与坐标系相容的核心是把结构中的关系与坐标系的“刻度”建立联系,换句话说,当我把空间的某点置于一个给定的坐标系时,该点向各个坐标轴做垂线,得到的就是该点在坐标轴上的刻度,这些刻度要以结构中的元素的形式参与结构的运算【或者说符合结构的关系】,从而借助坐标系表达结构中的元素的性质。这样,我们就把结构中的集合看成背景空间,结构中的元素看成空间中的点,点与点之间的关系由结构中的关系定义,点在坐标系中的表现就是它在各个轴上的刻度的关系,这些刻度我们称之为坐标。

这种带有“坐标系”的结构就是所谓的“空间”,在代数的意义上它们一般都是有限维的空间,无限维空间需要结合序列的收敛性加以定义。

经典的有限维向量空间就是这种空间,它的基就相当于选定的坐标系的“单位长度”,在某个基下的分量就是在该坐标系下的“坐标”。

因为,向量空间也是“结构”,所以它也是集合,那么也有子集一说,某个子集如果同样具有母空间的那些结构,这样的子集就叫子空间。确实不是任意的子集都有资格做子空间的,因为子空间也是空间,需要满足母空间的一切“关系”。例如,对于平面R² 来说,它的一维子空间只有每一条过原点的直线,其它的子集仅仅只是子集。

现在我们问:两个子空间怎么能完整地描述一个母空间?

方法之一就是我们要说的“直和”。

我们用记号M+N表示两个空间M和N的“和”。如果V=M+N,我们称子空间M和N生成了空间V。生成的意义不言而喻,它表示V的每个元素都可以写成子空间M与N的某个元素的和。但是这里的“和”是怎么定义的?换句话说,M和N各自的那个元素是怎么在这个“和”下运算的?

其实,“和”是V上原本的那种“加法”。我们知道,向量空间V在公理下只有两种运算:加法和数量乘法。因为子空间也是子集,那么它的元素也都是母空间V的,两个不同子空间的加法,本质上还是V的两个元素在V原有的加法下进行运算,只不过,这两个元素现在要分别从子空间M和N进行选取罢了。

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