欧拉公式的代数证明 (3-1)

自然对数e的欧拉公式是初等数学的经典公式之一，即eⁱˣ＝cos(x)＋i · sin(x) 。我们来证明它。传统的证明方式，或者说经典的证明方式是把右侧的两个三角函数按幂级数展开，然后得到结果，严格意义上，我们需要考察每个级数的收敛性。

现在，我们用代数的方式证明它，避开敛散性问题。我们的主要工具是向量空间的扩展内容——直和分解。为了照顾更多基础较弱的爱好者，我们先叙述一些周边知识以及有用的结论，最后给出简明严谨的证明。

向量空间是代数学，尤其是线性代数的基本背景空间。现代数学在研究某个对象时，按集合论和“结构”的思想都会把它置于某个大集合中：我们在这个集合上赋予一些关系，比如、序、运算之类的，集合及其这些关系的“共同体”称为“结构”。为了与几何挂钩，我们需要让结构能与坐标系相容，而坐标系的要点之一就是所谓的相互垂直的坐标轴个数，相互垂直的含义体现为“独立”和“自由度”，它们更加有名的称呼叫维度！

结构与坐标系相容的核心是把结构中的关系与坐标系的“刻度”建立联系，换句话说，当我把空间的某点置于一个给定的坐标系时，该点向各个坐标轴做垂线，得到的就是该点在坐标轴上的刻度，这些刻度要以结构中的元素的形式参与结构的运算【或者说符合结构的关系】，从而借助坐标系表达结构中的元素的性质。这样，我们就把结构中的集合看成背景空间，结构中的元素看成空间中的点，点与点之间的关系由结构中的关系定义，点在坐标系中的表现就是它在各个轴上的刻度的关系，这些刻度我们称之为坐标。

这种带有“坐标系”的结构就是所谓的“空间”，在代数的意义上它们一般都是有限维的空间，无限维空间需要结合序列的收敛性加以定义。

经典的有限维向量空间就是这种空间，它的基就相当于选定的坐标系的“单位长度”，在某个基下的分量就是在该坐标系下的“坐标”。

因为，向量空间也是“结构”，所以它也是集合，那么也有子集一说，某个子集如果同样具有母空间的那些结构，这样的子集就叫子空间。确实不是任意的子集都有资格做子空间的，因为子空间也是空间，需要满足母空间的一切“关系”。例如，对于平面R² 来说，它的一维子空间只有每一条过原点的直线，其它的子集仅仅只是子集。

现在我们问：两个子空间怎么能完整地描述一个母空间？

方法之一就是我们要说的“直和”。

我们用记号M+N表示两个空间M和N的“和”。如果V=M+N，我们称子空间M和N生成了空间V。生成的意义不言而喻，它表示V的每个元素都可以写成子空间M与N的某个元素的和。但是这里的“和”是怎么定义的？换句话说，M和N各自的那个元素是怎么在这个“和”下运算的？

其实，“和”是V上原本的那种“加法”。我们知道，向量空间V在公理下只有两种运算：加法和数量乘法。因为子空间也是子集，那么它的元素也都是母空间V的，两个不同子空间的加法，本质上还是V的两个元素在V原有的加法下进行运算，只不过，这两个元素现在要分别从子空间M和N进行选取罢了。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。