代数 (2-2)

说明：当k=0时，V是一阶可微函数空间，W是连续函数空间。根据原函数存在定理，在R的某个区间【包括R】上，如果一元实值函数是连续的，那么它一定存在原函数。此时W的元素都是连续的函数【比如f(x)】，它们都有原函数【比如F(X)】。根据原函数的性质，原函数的导数正是某个连续函数【即F'(x)=f(x)】。因此原函数是一阶可微函数。当k≥1时，W的元素都是可微函数，因为可微必连续，所以它们依然都有原函数，且原函数都属于k+1阶可微函数。

我们找了T的核，又知道了T是满射，这些都是为了使用群同构的定理，它们是该定理使用的先决条件。

根据群的“第一同构定理”，由映射T：V→W可得到同构映射S：V/R→W，其中R是T的核。V/R是由T的核R作为等价关系形成的商集。因为同构映射是双射，因此它有逆映射，其逆映射也是同构，即 S⁻¹ ：W→V/R，其元素对应为f(x)→F(x)+R【显然，显然根据商集的定义，每个陪集F(x)+R都是V的子集】。

这意味着我们有：S⁻¹ (f(x))=F(x)+R。现在我们来说明：

如果T：V→W是我们熟悉的导数，那么“逆过程” S⁻¹ ：W→V/R就是代数视角下的不定积分。

我们先选定某个F(x)，然后任取一个R中的元素c，于是F(x)+c属于V【前面说过，F(x)+R是V的子集】。映射S的同构性保证集合F(x)+R与f(x)是唯一对应的，又因为F(x)是选定的，所以f(x)是唯一确定的。考察T限制到集合F(x)+R上的映射，即T：F(x)+R→W，则其中的每一个元素通过导数运算T联系到f(x)，即T(F(x)+c)=f(x)，写成常见形式就是

d

─ (F(x)＋c)＝f(x) 。

dx

这其实就是在说F(x)+c是f(x)的某个原函数。

T显然是多对一的映射，因此它没有逆映射，而其逆过程——不定积分——只能是T的逆像，即T⁻¹ (f(x))=F(x)+R。显然，根据我们前面 S⁻¹ 的定义， T⁻¹＝S⁻¹ 。这说明，对于任意一个W中函数f(x)来说，导数的逆像是函数f(x)的一族原函数F(x)+R，而不是某个原函数F(x)+c。

如果你真的看懂了，你或许会有疑问，我们计算不定积分时，应该是∫ f(x)＝F(x)＋c ，它得到的是某个原函数，这与 S⁻¹ (f(x))=F(x)+R得到一族函数不太一样啊？

没错，就是不一样，因为这是代数视角下的不定积分，它的操作对象是商集和陪集，而分析中的不定积分每次得到的就是某一个原函数，它俩有区别的原因是因为导数算子不是双射，从而没有逆映射，而我们的不定积分只是它的逆像，在映射与商集的角度，我们只能得到某个元素到其所在的陪集【商集的元素】的映射，而不能得到像分析中那样更细致的结论。

然而，它们本质上是一致的，在学不定积分时，老师一般都会说，原函数后面+c，表示一个函数的原函数不是只有一个，而是有一族【无穷多个】，而代数上的映射清楚地表明了这一点：虽然不定积分可以看成是导数的“逆运算”，但是在代数视角下，不定积分不是简单地把导数算子的像集映回到它的定义域上，而是映到它定义域的商集上。这是代数想要告诉我们的关于在商结构下不定积分的映射性质。

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