拓扑绝缘体：狄拉克锥 (2-1)

相信大家已经很了解贝里相位(Berry phase)以及贝里相位对电子输运的影响了（如果并非如此可以先了解一下贝里曲率~）。那么接下来一个非常自然的问题就是在什么样的体系中会存在非零的贝里相位（陈数）呢？这是一个非常重要的问题，如果我们能够找出这样的一种体系，那么非零的贝里相位就导致电子有反常速度，就会有新奇的输运现象，如果再加上量子化，就会有量子霍尔效应(quantum hall effect or QHE)呀！所以找到一个非零贝里相位的体系是很重要的。

固体材料中最简单的非零贝里相位体系就是狄拉克锥(Dirac cone)。二维情形下，其哈密顿量H＝kₓσₓ＋kyσy，（注意这里的泡利矩阵并非一定作用于自旋空间，而是二能级体系矩阵的一个记号罢了）。这个哈密顿量对应的能量为E±(k)＝±√k²ₓ＋k²y＝±|k|. 这个能量色散关系正对应无质量的狄拉克方程，所以对应的能带结构被称作狄拉克锥，当然，交点被称作狄拉克点(Dirac point)。容易证明，体系的贝里相位非零，为π.[1] 非零的贝里相位会导致什么样的新奇输运现象呢？且待下文揭晓。

Eₖ、kₓ、ky

非常经典的石墨烯中的狄拉克锥的能带

那么接下的问题就是狄拉克锥这么有趣，我们去哪里寻找呢？上图其实已经给了你答案，对了，可以去石墨烯(graphene)中寻找。倘若用紧束缚模型写出石墨烯的哈密顿量，我们会惊讶的发现，在其布里渊区的6个高对称点附近，都有以该点为中心的狄拉克锥。石墨烯作为非常热门的材料，与它神奇的能带是分不开的。

那么除了石墨烯之外还有什么地方可以找到呢？大家惊讶地发现在一类绝缘体中居然可以找到，即拓扑绝缘体(topological insulator)。确切的说，是在拓扑绝缘体的边界可以找到。什么叫边界呢，简单来说就是材料体系的最外层，三维情况下就是材料的“表面”(surface)，就像橘子的皮一样，二维情况下就是材料的“边”(edge)，就像披萨边一样。[2]拿三维情况来举例，由于真实的材料体系都是有限大小的，所以平移对称性不总是成立，那么体态和边态就会不同。倘若将三维拓扑绝缘体的紧束缚模型写出，并在边界处求解的话，哈密顿量恰为狄拉克锥的形式，并且在纵深方向上电子波函数急速衰减，即局域在边界。三维拓扑绝缘体的边缘态能带是一个狄拉克锥，也就是说，三维拓扑绝缘体的边缘态就和一个石墨烯差不多。也就是说，一个体态是绝缘的材料，竟然会有导电的边缘态，实在有趣是有趣的性质。

拓扑绝缘体如何得到呢？我们一步一步地考虑，首先，一个常规的绝缘体和一些原子无相互作用地聚在一起，其实在拓扑意义上没有区别（贝里相位都为零），那么我们要做的就是让他的上下两个相邻的能带的间隙逐渐变小，直到能带相互接触，此时形成狄拉克锥，体系出现非零贝里相位，然后再重新打开能隙，在重新打开能隙的过程中，贝里曲率是不会变化的，最终，就得到了非零贝里相位的绝缘体。（过程如下图所示）

e²

Δσₓy＝─

ℎ

能隙关闭并重新打开

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