黎曼几何

我们有办法在一个pku的操场上确定地球是一个球体吗？

我们可以发现，无论从什么角度上看，pku的操场和一个二维的平面都没什么区别，于是我们似乎可以从pku的操场出发，不断地延展，构造出我们心目中的地球：一个极大的平面。但事实并非如此，只要是一个心智正常的现代人都知道地球是一个球体，我们究竟遗漏了什么？

From ChatGPT：埃拉托斯特尼(Eratosthenes)在埃及的亚历山大港工作，那里有一座高大的石柱，而在卡纳库神庙(位于今天的苏丹)有另一座相似的石柱。埃拉托斯特尼注意到，在亚历山大港的夏至那一天，正午时太阳直射到了井口的底部，而在卡纳库却不是。他推测，如果地球是一个完美的球体，那么两地之间的角度差应该等于地球的弧度，而这个角度差可以通过测量两地之间的距离得到。

埃拉托斯特尼为什么能一窥地球的"全貌"呢？关键之处在于他认为太阳光是平行的，不随着他自身的局域坐标而改变。换言之，太阳光成为了不变的量，两个局域之间的变化(或者称为联络)就可以通过太阳光在其中不同的性质而体现出来。

黎曼几何中的基本概念

事实上，地球就是一个三维欧式空间中的流形。数学家告诉我们：一个性质比较好的流形(光滑流形)的局域总是和一个欧式空间差不多。但是如果我们不满足于一个局域，如何知道一个流形整体的性质呢？答案是：我们必须像埃拉托斯特尼一样，去寻找一个"全局的参数"。[2]

从最基本的考虑出发，我们已经知道了流形的局域如何描述，那么我们就在这个流形上的每一个点都建立局域的坐标系，接下来我们只要根据我们的"全局的参数"描述所有局域坐标系的关联就行了。

于是黎曼几何引入了度规张量(metric tensor)，在此基础上引入了仿射联络(Affine connections)，曲率(curvature)以及挠率(torsion)等等，有了这些，我们就能完整的描述一个奇形怪状的空间了！

如果我们更进一步，考虑坐标系之间物理量的变换，那么我们就走向了广义相对论。

参考：

1. 参考书目为: Nakahara, Mikio.Geometry, topology and physics. CRC Press, 2003.

2. 这里所谓"全局的参数"就是指一个我们清楚地知道它在整个流形上表达形式的量，依据这个量我们就可以根据在不同局域坐标系中它的表达形式的变化来定义局域坐标系之间的变化，同样的，我们在有了局域坐标系的变化形式之后，也可以根据一个量在各个局域坐标系中的形式确定它的整体表达式。下文中提到的度规张量就是一个这样的"全局的参数"，通过度规张量我们可以确定局域坐标之间的变化，即所谓"联络"。

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