黎曼猜想的新突破 (3-2)

有些ζ零点很容易解释，比如对于所有的负偶数（-2，-4，-6……），ζ函数都等于零。这些零点被称为平凡零点，它们并非黎曼所感兴趣的。他在意的是那些被称为非平凡零点的零点。

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黎曼认为所有非平凡零点都位于临界线处。

黎曼证明了，在一个实部s在0到1之间的临界带区域内，ζ函数存在无穷多个非平凡零点。1859年，他发表了一篇开创性的论文，在论文中正式提出：在临界带内，ζ函数的所有非平凡零点都位于一条临界线上，也就是在复平面上s的实部等于1/2的地方。

这便是数学家们至今仍无法证明的黎曼猜想。

上世纪40年代确立的界

直至今日，已经有多达10¹³多个ζ函数的非平凡零点被检验过，而且它们的实部的确都位于等于1/2的直线上。但这并不能作为证明黎曼猜想的有效证据。数学家只需找到一个反例，就能驳斥黎曼猜想。因此，数学家们一直在试图证明，在实部等于1/2的这条直线之外，没有其他零点。

然而，这是非常难以证明的。于是，他们转而证明，在这条直线之外，ζ函数的非平凡零点非常罕见——罕见到最多只有N个。当他们将N减少到0时，就证明了黎曼猜想。只可惜，这只不过是另一条崎岖异常的道路。

在20世纪40年代，数学家Albert Ingham建立了实部不等于1/2的非平凡零点个数的上界：他表示在实部为[0.75, 1]，虚部不超过y的区间内，最多有y3/5+c个零点，其中c是0到9之间的常数。在接下来的80多年来，这一结果几乎没有得到改善。数学家们至今仍将这一上界作为参照。

大约十年前，Maynard开始思考如何改进Ingham对这些特殊零的估计，但都收效甚微。直到2020年初，他意识到或许数学领域的另一个工具可以帮上忙，那就是调和分析。

Maynard遇到了和分析领域的专家Guth。在断断续续的几年时间里，Guth做了许多尝试后，才发现调和分析在这个问题上似乎也爱莫能助。但他并没有停止思考这个问题，他尝试了一些新的方法，并将他的方法与Maynard的方法相结合。最终，他们迎来了突破。

问题的转化

首先，他们将问题转换成另一个问题：如果一个零点的实部不是1/2，那么在一个名为狄利克雷多项式的函数会输出一个非常大的值。因此，证明黎曼猜想很少有反例，就等同于证明狄利克雷多项式不能太频繁地产生大值。

接着，他们进行了另一项“转换”工作。他们先是使用狄利克雷多项式来建立一个矩阵。矩阵可以通过“作用于”一个向量（具有长度和方向）而产生另一个向量。这种过程通常会改变原始向量的长度和方向。

但是，有一些向量是特殊的，当这些特殊向量经过一个矩阵的“作用”时，它们只改变长度而不改变方向。这些被称为本征向量，它们的长度变化可以用所谓的本征值来衡量。

如此一来，Guth和Maynard就将问题改写为求矩阵的最大本征值。如果能够证明最大的本征值不会太大，他们就完成了证明。为了做到这一点，他们使用了一个公式，这个公式给了他们一个复杂的求和，他们所做的就是设法使这个求和中的正负值能尽可能相互抵消。

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