黎曼猜想的新突破 (3-1)

黎曼猜想的新突破

佐佑 原理，2024年08月02日 20:32 浙江。

素数是指那些除了1和自身以外，无法被其他正整数整除的数，比如2、3、5、7、11、13……它们的神秘之处在于，我们无法完全理解并预测它们在数轴上的分布。1859年，德国数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）首次提出数学中最令人费解的问题之一——黎曼猜想，其终极目标是想要解开素数之谜。

虽然许多领域都假定黎曼猜想是成立的，但对于数学家而言，真正的证明还没有实现。这个有着“数学圣杯”之称的未解谜题，困扰了一代又一代最杰出的数学家。2000年，在克雷数学研究所公布的7个千禧年大奖难题中，也包括黎曼猜想。

今年5月，黎曼猜想迎来了新的突破。麻省理工学院的Larry Guth和牛津大学的菲尔兹奖得主James Maynard，在论文预印网站arXiv上提交了一篇新的论文，表示他们改进了一项已经停滞了80多年的与黎曼猜想有关的结果。

黎曼猜想的核心：黎曼ζ函数‬

在了解这项成果之前，我们首先需要了解的是：什么是黎曼猜想？

黎曼猜想的核心是黎曼ζ函数。在数论领域，ζ(s)函数是一个普遍存在的数学函数，它以一种无穷的调和级数的形式存在。s代表函数中的指数变量，ζ(2)指的就是级数的平方和，ζ(4)是级数的四次方和，以此类推。

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ζ，读作zeta。

生于18世纪初的瑞士数学家欧拉（Leonard Euler）证明了，当s＞1时，ζ函数是收敛的，它会收敛到某个有限数值。此外，他还发现ζ函数可被表示为无穷个无穷级数的乘积，其中每个无穷级数都与一个素数有关，比如第一个级数与2有关，第二个级数与3有关，第三个与5有关……

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ζ(s)函数可以表现成无穷个无穷级数的乘积，每个无穷级数由一个素数的倒数的所有次幂的s次方的和构成。

如此一来，ζ函数和素数之间的关系就出现了！不过，欧拉虽然发现了这二者之间的关联，但直到黎曼才揭示出其中的含义。黎曼想知道，如果代入ζ函数中的s是复数，情况会如何？

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复数可以表示为x+iy，其中x为实部，y为虚部。

他将ζ函数扩展到复平面后发现，只有在s的实部大于1时，ζ函数才是收敛的。要如何才能将ζ函数扩展到复平面的其余部分呢？为了实现这一点，黎曼使用了复分析中的一种被称为解析延拓的技术。

解析延拓的关键在于，实际上要有两个函数在同时运作，一个是原始的ζ函数，它的运作范围仅限于s的实部大于1的范围；另一个是个全新的、定义域被扩展了的函数，即黎曼ζ函数：当ζ函数收敛时，黎曼ζ函数的值等同于原始的ζ函数；当s的实部小于1时，黎曼ζ函数的值就等于由s处的级数定义的函数的解析延拓。

通过扩展函数的域，黎曼发现在新的域里，函数可以穿过原点。这意味对于一些复数，函数值等于0，这些值被称为ζ零点。找出这些零在复平面上的位置是数学中最有趣的问题之一。

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