黎曼猜想（一） (5-5)

哈密顿算子的本征值是这个系统的基本能级。每一个本征值都特定地联系着这个空间中的一个关键的点——函数，叫做本征函数，代表着处于那个能级的系统的状态。这些本征函数是这个系统本质的、基本的状态。这样的黎曼算子需要为其构造特定的空间，比如阿代尔空间，而这又涉及到了群论。这一段探索的旅程，我只能看到科学家们一直在抽象，抽象，抽象，还是TMD抽象，往死里抽象，往不要命的方向抽象！

直面黎曼假设的路那么的艰难以至于难以攀登，于是不同领域的学者们选择了从其他角度破局的方式。索性，目前无法对黎曼假设证伪，当前所有的结果全都符合黎曼假设的断言。

• 12 误差项与整函数

整函数具有很优良的数学分析性质，然而ζ函数不是一个整函数，只是有点相似。黎曼用一个很复杂的逆转过程解决了这个问题。虽然在数学上用容易解决的方法解决等价的难以解决的问题属于常态，但是这一次的等价转换关系着实是需要超非凡的天赋。作为结果，黎曼把ζ函数变换成一个整函数，其零点恰恰是ζ函数的非平凡零点。至此，我们可以用那些零点来写出这个稍有不同的函数。而在这个变换的过程中，那些平凡零点很容易地消失了。

一旦当我们这个做了的时候，我们就可以利用图像来分析黎曼函数对素数估计的误差项的分布性质了，而这是一个有趣的新领域。

• 13 感悟

我最早认为文学作品的人脑洞已经足够大了，但毕竟艺术脱胎于生活而无法超越生活；所以还是那群发现宇宙大爆炸和量子理论的物理学家脑洞更大，毕竟他们能发现这个世界反直觉的东西；直到我遇到了以严谨著称的数学家，才发现他们的脑袋里的东西已经不属于这个世界了。

关于黎曼假设的等价和转化关系让人看的眼花缭乱，大脑宕机。所以其实严谨和开放在无穷远处其实是等价的么？正如数轴的正半轴和负半轴在延伸至无限的时候也是等价的那样。

在追随素数分布的探索过程中，很多的数学家和物理学家投入其中，是否有用并不在他们的考虑之中，激起他们兴趣不是任何改善人类的健康和设施的想法，而是发现新事物的纯粹乐趣和解决难题的挑战。

正如阿达马在 《数学领域中的创造心理学》所说，“对我们来说答案出现在问题之前……。实际应用不用找也会发现，可以说文明的整个进展都依赖这个原则……。实际的问题常常是依靠现存的理论解决的……。很少有重要的数学研究是由于看到一个给定的实际应用而进行的：它们是由一种愿望引发的，这种愿望是每一项科学工作的共同动因，即想知道和理解事物的愿望。”

那么我们应该如何对待黎曼猜想呢？有一天我们将会知道最后的答案。我不知道结果将会如何，我也不相信有人知道。不过我确信，这些结果将是惊人的。在探索的尽头，我们的认识将会发生转变。在那之前，所有的乐趣和魅力就在于探索本身，并且——对于我们中的那些没有着手探索的人来说——在于看到探索者的活力、决心和创造力。我们必须知道，我们必将知道。

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