黎曼猜想（二） (4-1)

黎曼在一篇仅有八页的论文里提出来一个堪称数学高峰的重要猜想，160多年来经过一些最聪明的数学家的接续努力，至今仍然未被征服。

1859年8月，32岁的伯恩哈德·黎曼为答谢柏林科学院授予的通信院士这一崇高荣誉，提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文，虽然这篇论文只有短短的八页，但却是数学史上极其重要的一篇论文，其中蕴涵非常深刻的数学思想，而且提出了被称为最重要的数学问题之一的黎曼猜想。

黎曼猜想是关于素数分布的猜测。素数也叫质数，是大于1的自然数中所有只能被1或自身整除的数。素数之所以重要是因为所有自然数都是素数或者等于素数的乘积，所以素数又被称为所有数字的基石。素数列为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29…，不光是一般人，历史上很多顶尖的数学家都认为素数分布没有什么规律，而黎曼却告诉世人，素数可能不是杂乱分布的，而是存在一个规律。黎曼猜想的表述是：ζ函数的所有非平凡零点都分布在实部为1/2的直线上。素数分布的奥秘可能就隐藏这条直线上。

素数定理‬

黎曼的论文题目中的“小于给定数值的素数个数”这个问题，最先是谁提出的呢？是黎曼的老师——高斯。高斯认为既然素数的通项公式看起来是极其难求的，那么换个简单一点的问题，可不可以求出小于任意给定值的素数个数呢？后来数学家把小于等于任意给定值x的素数个数称为素数计数函数π(x)。高斯在闲暇时间通过计算来寻找并统计素数，发现素数的分布密度平均地接近于其对数的倒数。几年后勒让德独立发现了相似的结果。这就是著名的素数定理，于1896年由阿达马和德·拉·瓦莱布桑各自独立证明。素数定理也可以表述为小于给定值x的素数个数渐进地趋于x与lnx的比值，即π(x)~x/lnx。当x比较大时，从1到x的所有数中，90%以上的数的位数都和x的位数相同或者少一位，它们的素数分布密度相对来说更接近，也就是前面分布密度较高的素数被“稀释”了，所以由此得出素数定理的一个推论：x附近的一个自然数是素数的概率接近于1/lnx。随着x的增大，对数积分函数‬

1

Li(x)＝∫ˣ₂ ──dt

in t

是逐渐趋于x/lnx的，即Li(x)~x/lnx。根据素数定理，π(x)~Li(x)也成立。实际上在估计π(x)时，Li(x)要比x/lnx好得多，也就是x更大时，Li(x)比x/lnx更接近π(x)。

黎曼猜想

素数定理给出的是小于给定值的素数个数的粗略估计，有必要继续寻求关于素数分布的更精确的规律。黎曼富有创造性地实现了这一点，其起点是欧拉的成果。欧拉通过对无穷级数‬

1 1 1 1 1

∑ ─＝1＋─＋─＋─＋─＋· · ·

nˢ 2ˢ 3ˢ 4ˢ 5ˢ

进行研究处理，得到欧拉乘积公式‬

1 1 1 1 1

1＋─＋─＋─＋─＋· · ·＝(──) ↓

2ˢ 3ˢ 4ˢ 5ˢ 1

1 – ─

2ˢ

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