黎曼猜想（一） (5-4)

这种矩阵的随机间隔的统计特征函数有一个形状因子，而这个因子恰好可以描述黎曼ζ函数的非平凡零点之间的间隔关系。

数学家们再一次展现了自己的远见。黎曼ζ函数的非平凡零点产生于对素数分布的探究。随机埃尔米特矩阵的本征值产生于在量子力学的各种定律下对亚原子粒子系统行为的探究。素数的分布究竟与亚原子粒子的行为有什么关系？

• 10 拧动金钥匙

在介绍了莫比乌斯函数之后，对于素数的研究终于再一次回到ζ函数的主线。

首先，改写素数计数函数π(N)为J(x)，然后用J(x)反向表示π(x)，再引入莫比乌斯函数μ来对表达式进行简化，这是一种精确表达。随后经过黎曼大法师一阵令人头晕目眩的操作，甚至可以说是魔法之后，就得到了ζ函数的对数形式与J(x)的积分函数的关系（式19.6），而这直接导向了黎曼论文中的主要结果。它的伟大在于，一个离散的关于素数统计的函数最终竟然可以采用微积分进行处理了。

在此之后，数学家可以用ζ函数来表示π(x)。这恰恰就是黎曼当初着手做的事，因为后来人们会发现，π函数的所有特性以这样那样的方式被编制在ζ函数的特性中。π函数属于数论；ζ函数属于分析和微积分；而黎曼就在这两者之间架起了一座浮桥，跨越了计数和度量之间的鸿沟。

• 11 黎曼算子与混沌系统

在希尔伯特波利亚猜想之后，随机埃尔米特矩阵表达的算子有了一个新称呼，黎曼算子，那么它究竟代表什么？它代表了一个混沌系统模型。很匪夷所思不是么？

然而，纯粹的数论——关于自然数及其相互关系的各种概念——应该与亚原子物理学有关，这并不那么令人意外。量子物理学比经典物理学有着更强的算术成分，因为它基于物质和能量不是无限可分这一观念。而正是这个世界微观本质的离散分布特点，在物理本质上来源于量子不相容，确实有点类似于数学领域的素数没有公因子。作为一个经典案例，薛定谔的波动方程与量子力学的矩阵形式，非常类似于黎曼假设中的素数表示的微积分形式和计数形式。

物理学家贝里论述道，如果存在一个黎曼算子，那么它可以作为一个这样的半经典混沌系统的模型，它的本征值，即ζ函数零点的虚部，就是这个系统的能级。这个类似经典混沌的系统中的周期轨道相当于素数的对数！

他进一步论述道，这个半经典系统将不具有“时间反演对称”的特性——就是说，如果这个系统中所有粒子的所有速度都能在瞬间被同时逆转，这个系统将不会回到它的初始状态。

而这种不具备“时间反演对称”特性的系统，是以“高斯幺正系综”为模型，正是这种随机埃尔米特矩阵的集合，而这样的结论，在普里戈金的耗散系统的热统计力学中得到了进一步证实。

在量子力学中，函数是波函数，它定义了一个系统中的粒子在一个给定的瞬间以某个速度出现在某个位置的概率。换句话说，这个空间中的每一个点都代表系统的一种状态。用于量子力学的算子将这个系统的可观测特征编码——最有名的是哈密顿算子，它将系统的能量编码。

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