黎曼猜想（一） (5-3)

从函数的映射角度考虑，高维空间的复杂函数投影至低维会存在多义性，比如一个三维的正方体以不同的姿态投影至平面我们会看到很多不同的平面图形，但我们通过分析顶点、棱边、和面之间的数学关系，可以抽象升维至高维领域，从而借助高维空间完整的总结归纳性质，再利用这些本质的特性解决在低维空间的投影问题。

数学是一门逐步累积的学科，每一个新的发现都被加到知识的主体之上，并且从来没有什么东西被去掉。它具有独特的权威，是基于准确严密的定义+逻辑+推理形成的学科，只要被证实为真理，它就一直在那里，且从不缺席，它就像一个游走于高维空间的神灵，脱离低维现实观察的影响。

• 07 莫比乌斯函数μ

把欧拉积公式取倒数，那么根据无限括号连乘积的排列组合规律，等式右侧就会出现一个和ζ函数有点类似的级数表达式，而这个级数可以用莫比乌斯函数μ进行简化表示，这样就在μ函数与ζ函数之间建立了紧密联系！

而μ的累加值的M函数的大O在一定程度上与黎曼假设等价。在第一次看到这个等式关系的时候，我是感到匪夷所思的，深深地感到数学家的大脑就像超级迷宫连着超级迷宫连着超级迷宫，没有地图得把人活活困死。

• 08 西格尔与非平凡零点

由于黎曼假设与ζ函数的零点密切相关，而关于黎曼假设的正统证明又遥遥无期，那么是否可以尝试尽可能多的计算出来这些非平凡零点，采用实验的方法进行证实呢？西格尔就走上了这一条道路，他详细研究了黎曼未发表的遗稿，并在那里边找到了新的思路，以远远超过同行的速度，这就是黎曼西格尔公式。

直到2002年，非平凡零点的前1000亿个已经得以验证，全部符合黎曼假设，但相对于数学上的无穷而言，这仍旧只是一个充分小的数，看来数学家们仍旧需要进一步探索。

• 09 希尔伯特波利亚猜想

在黎曼ζ函数的研究过程中，数学家们尝试揭示复数函数ζ和非平凡零点的实部为1/2的关系，然而由黎曼建立的堡垒太过精密，始终进展不大。既然在完整的复数域中收效甚微，那么我们是否可以限定一下黎曼猜想的定义域，限缩至一个更小一点的完备数域，证明一个类似的更简单的黎曼猜想呢？你看，数学家们就是反复无常，一下子扩展定义域，又一下子限缩定义域，这也是一个有趣的领域，并取得了一些成果。

与黎曼同期的数学家们还有很多可以研究的其他领域，矩阵计算就是其中一种，他们在探索其中的埃尔米特矩阵时，发现埃尔米特矩阵的所有本征值都是实数，这意味着埃尔米特矩阵的特征多项式的所有系数都是实数。这是由任何矩阵的本征值根据定义都是这个矩阵的特征多项式的零点这一事实得出的。

而黎曼之后的希尔伯特敏锐地把握到了黎曼ζ函数的非平凡零点与埃尔米特算子的本征值之间惊人的相似性，它们本质上都是复数对象的关键特性中浮现出来的出人意外的实数列表。看起来这在数学上只是一种相似，但是它真正的用武之地在核物理的量子理论领域。

20世纪50~60年代，核物理学家采用统计学解决量子计算问题，涉及到一个核心概念，随机矩阵，而有趣的是，它就是埃尔米特矩阵！这个矩阵的本征值直接解释了某种量子动态系统的行为模型，并且与实验中观察到的能级非常相符。

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