黎曼猜想（一） (5-2)

它脱胎于自然感觉逻辑，却又在更深的层次上反对自然感觉逻辑，而只由严密的逻辑推理所支配，它超出了日常语言的范畴，只有天才的想法才能建立关联。

• 05 积分对数函数与素数定理2.0

数学家们的脑洞是很大的，有时候甚至连物理学家都无法理解他们的脑洞，虽然在我们眼里，物理学家的脑洞比起他们眼中的数学家们的脑洞，只大不小。

这一次数学家考虑把事情逆反过来考虑，也就是反函数，那么，微分函数1/lnx的积分是什么？遗憾的是，没有普通常见的函数能用于表达1/lnx的积分。然而，这个积分非常重要，为了方便，我们就把它定义为一个新的函数“积分对数函数”，并用Li(x)表示。

为什么要使用这么一个复杂的函数呢？因为它确实重要，它的斜率在任一点处的概率都是1/lnx，而这正好是x附近的一个整数是素数的概率！那么当N足够大，Li(N)~N/lnN~π(N)。事实上，Li(N)比N/lnN能更好地接近π(N)。从而素数定理2.0版本则是：π(N)~Li(N)。而这，就是黎曼的贡献了。

而在此之前，黎曼还得到了一个十分重要的数学成果：黎曼几何，而这是爱因斯坦广义相对论中四维时空的数学基础。通过黎曼的工作我们可以发现他的思想张力有两个方面：一是全局论者，从整体看待局部，从更大的系统视角度量局部的作用和表现；二是从分析出发去思考，深入分析微观机理，定量发掘局部性质。他始终擅长于在全局里看到联系，从微观中发掘机理。

• 06 扩展至复数域

在研究无穷级数中的等比数列时，如果我们把级数求和改写成函数表达式，会发现使得级数收敛的定义域范围只是函数定义域的一部分，就像二维空间的函数仅仅是三维空间函数的一部分，它本来还有更多的定义域被隐藏在更深的维度里。那么，ζ函数也是这种情况吗？它的定义域是否也可以扩展呢？

当然可以，但这首先需要探索ζ函数的性质，而直面ζ函数会非常复杂，需要用更简单的η(s)来重新表达ζ(s)。这样的转化手段在数学中经常用到，在一种形式下发散的很难处理的计算可以在数学上等效为另一种形式下收敛的容易处理的计算，同样的手段在弦理论中的采用卡-丘6维空间形态的转化情况解释空间结构破裂时也有应用。

素数计数函数π(N)与log积分函数Li(N)在N趋向无限大两者是越来越接近的，但这两者之间仍然存在一个误差项，黎曼提出了这个误差项的精确表达式，包含ζ函数的所有非平凡零点。因此理解这个误差项的关键以某种方式隐藏在这些零点之中，这也就是我们当前看到的，为什么黎曼假设目前的重点聚焦在于证明ζ函数的所有非平凡零点的分布是否在1/2线上，而这也就是把零点分布从临界区域限缩至临界线。

这个思路产生始终伴随着定义域的扩展：首先是无限级数表达为函数，定义域被扩展至除1以外的实数域（扩展定义域至一维全体）；然后是扩展至复数域（扩展定义域至二维复平面）。之后我们在更高维的空间中发现了这个函数的不一样的数学性质。

在目前的量子理论和抽象数学领域，有很多的理论问题在低维空间是不可解且不可观察的，我们通过对其性质的抽象推理升维至高维空间，借助维度的提升“看到”这个复杂函数在高维空间更多的视角和更完整的形态，从而获取了这个函数的本质特性，再利用这个发现的本质特性解决低维的问题。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。