黎曼猜想（一） (5-1)

Wir müssen Wissen，wir werden wissen

• 01 无穷级数

学习数学的时候，很重要的一点是知道你正处在数学的什么地方，它在哪个具体的领域之中。素数的故事从无穷级数开始，而这个领域，被数学家称之为分析。

实际上，分析往往被认为是对无穷大以及无穷小的研究，而推动这个领域的先驱，就是欧拉，以及他于1748年发表的著作 《无穷小分析引论》。

• 02 素数定理

素数的研究当然最早是用统计的手段，这也就有了素数计数函数，π(N)。而在分析素数统计的过程中，数学家引入了基于自然底数e的对数ln，通过分析数据发现了一个有趣的规律，N/π(N)～lnN，并且N越大，两者越接近。从而也就得到了素数定理（PNT）：π(N)～N/lnN。高斯最早接受了它，而它真正被发扬光大，则是因为欧拉。

• 03 黎曼的ζ函数

欧拉是从接触巴塞尔问题开始进入素数研究领域的。那么巴塞尔问题是什么？为平方倒数级数寻找一个闭型，也就是准确的表达式解。π2/6，这就是欧拉的答案。顺带着，欧拉还给出了所有的偶数次方的倒数级数的闭型，却没有给出奇数次方的。

幂最初是作为重复的乘法出现的（正整数域），但是后来它被延拓至其他数域，更进一步的，也可以把它作为一个未知量，用ζ表示，那么巴塞尔的平方倒数级数就成为了黎曼的ζ函数，而黎曼研究的数域，是复数域。大名鼎鼎的黎曼假设也是直接与ζ相关：ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2。

对于ζ函数的分析首先是在实数域（有理数+无理数）上进行的，而自变量大于1的ζ函数图像在旋转90°之后，和lnx函数很相似。

• 04 解析数论与欧拉积公式

对于时间而言，当我们计算一个人的年龄时，总是取整的，这属于计数的范畴，而当我们精确界定时间时，我们需要进行度量。黎曼假设的产生也正是来源于计数逻辑与度量逻辑的邂逅：当来自算术的某些观念同来自分析的某些观念结合在一起的时候，就产生了一个数学新分支，解析数论。而这份开创，最早的领衔者是狄利克雷，正是由于其在关于素数的解析数论领域的研究，欧拉才得到了素数领域的金钥匙，而巧合的是，黎曼在柏林大学的时候正是狄利克雷的学生。

欧拉积公式是什么呢？这来源于欧拉用分析的语言去尝试描述“埃拉托色尼筛法”，通过去除自然数的所有素因子的合数，留下的自然就是素数。

ζ函数就这样与“埃拉托色尼筛法”产生了最直接且最深刻的关联，这简直是一个天才的想法。而这个公式，就是通过消除ζ函数中的素数而得到了一个新的函数：s的ζ函数等于对1减去p的负s次幂所得到的差的负1次幂取遍所有素数p的总乘积”。

而这也就是ζ函数与素数直接关联的起源之处，是通过“埃拉托色尼筛法”关联上的。这是欧拉的天才想法，也因而被称为“欧拉积公式”。

数学上的很多新概念的诞生，正是为了精确区分以往界定中的不清晰或不全面之处，而这种对于直观定义的深度抽象是非自然的，会使得数学思想与人类的思想和语言完全格格不入。数学是描述宇宙甚至是超出宇宙的语言，正因为宇宙的极度复杂，所以数学也趋于极度抽象。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。