黎曼猜想（二） (4-3)

1 ds

J(x)＝── ∫ᵃ⁺ⁱ∞ₐ₋ᵢ∞ lnζ(s)xˢ ─

2πi s

。这样，素数计算函数π(x)就可以用ζ（s）来表示了。对

1 ds

J(x)＝── ∫ᵃ⁺ⁱ∞ₐ₋ᵢ∞ lnζ(s)xˢ ─

2πi s

进行处理，最后得到黎曼素数计数函数的精确公式

∞ dt

J(x)＝Li(x) – ∑ Li(xρ) – ln2＋∫ ─────

ᵨ ₓ t(t² – 1)lnt

。J(x)实际上是π(x)的一个近似。

在

∞ dt

J(x)＝Li(x) – ∑ Li(xρ) – ln2＋∫ ─────

ᵨ ₓ t(t² – 1)lnt

这个式子中，第三和第四项都是比较容易算的，而且数值贡献远小于前两项。第一项为Li(x)，之前说过Li(x)能较好地估计π(x)，它为π(x)提供了主要贡献（也为J(x)提供了主要贡献）。第二项为π(x)的提供了次要贡献，第二项中的ρ正是ζ函数的非平凡零点。

什么是ζ函数的非平凡零点呢？数学家很容易得出-2，-4，-6，-8，…等所有的负偶数都是ζ函数的零点，于是把这些显而易见的零点称为平凡零点。而除了负偶数之外还有其它不是显而易见的零点，数学家们就把这些难算的零点称为非平凡零点。黎曼证明了这些非平凡零点都位于复平面上实部大于等于0且小于等于1的被称为“临界带”的竖直条带内。后来阿达马和德·拉·瓦莱布桑沿着黎曼的思路，证明了非平凡零点不会出现在临界带的边界即实部为0和1的直线上，而只能出现在临界带的内部，由此证明了素数定理。

黎曼在他那篇论文中得出了所有非平凡零点都关于实部为1/2的直线对称，在计算了几个非平凡零点发现其实部都等于1/2之后，黎曼认为这并非偶然，于是提出了一个猜想：ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2。这就是著名的黎曼猜想，被认为是数学中最大的未解之谜之一。

Li(x)对π(x)的估计有一定的误差，而黎曼直接给出了一个π(x)的精确表达式！这个精确表达式是对这个误差的修正。理论上这个精确表达式可以完全贴合π（x）的阶梯曲线，你可以想象这有多么奇妙。而ζ函数的非平凡零点和这个误差的修正密切相关。加入的非平凡零点越多，对这个误差的修正越准确。当把所有的非平凡零点都加入时，误差就消除了。

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