黎曼猜想（二） (4-2)

1 1 1 1

× (──) × (──) × (──) × (──) × · · ·

1 1 1 1

1 – ─ 1 – ─ 1 – ─ 1 – ─

3ˢ 5ˢ 7ˢ 11ˢ

，缩写形式为

∑n⁻ˢ＝∏(1 – p⁻ˢ)⁻¹

ₙ ₚ

，其中 n为大于零的自然数且 p 为素数。其证明过程本质上与古老的埃拉托色尼筛法相似。黎曼把这两个表达式命名为ζ（zeta）函数，即

ζ(s)＝∑n⁻ˢ＝∏(1 – p⁻ˢ)⁻¹

ₙ ₚ

，此公式第一次建立了ζ函数和素数之间的联系，也由此开启来现代素数研究的大门。

黎曼对ζ函数进行了解析延拓，使得ζ函数在s<1的地方也获得了定义，同时把复数引入ζ函数后，ζ函数在复平面上除了s=1这个点之外都有了定义。黎曼把ζ函数的定义域扩展到复数之后，从某种意义上使得ζ函数更容易处理了。黎曼将等式

ζ(s)＝∏(1 – p⁻ˢ)⁻¹

ₚ

转化成

1 ∞

─ ln ζ(s)＝∫ J(x)x⁻ˢ⁻¹dx

s ₀

，其中

1 1 1

J(x)＝π(x)＋─ π(√x)＋─ π(³√x)＋─ π(⁴√x)

2 3 4

1

＋─ π(⁵√x)＋· · ·

5

，对这两个式子分别使用梅林逆变换公式和莫比乌斯反演并交换顺序得到

1 1 1

π(x)＝J(x) – ─ J(√x) – ─ J(³√x) – ─ J(⁵√x)

2 3 5

1 1 1

＋─ J(⁶√x) – ─ J(⁷√x)＋─ J(¹⁰√x)

6 7 10

μ(n)

＝∑ ──J(ⁿ√x)

ₙ n

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