数学联邦政治世界观
超小超大

黎曼猜想(一) (5-1)

Wir müssen Wissen,wir werden wissen

• 01 无穷级数

学习数学的时候,很重要的一点是知道你正处在数学的什么地方,它在哪个具体的领域之中。素数的故事从无穷级数开始,而这个领域,被数学家称之为分析。

实际上,分析往往被认为是对无穷大以及无穷小的研究,而推动这个领域的先驱,就是欧拉,以及他于1748年发表的著作 《无穷小分析引论》。

• 02 素数定理

素数的研究当然最早是用统计的手段,这也就有了素数计数函数,π(N)。而在分析素数统计的过程中,数学家引入了基于自然底数e的对数ln,通过分析数据发现了一个有趣的规律,N/π(N)~lnN,并且N越大,两者越接近。从而也就得到了素数定理(PNT):π(N)~N/lnN。高斯最早接受了它,而它真正被发扬光大,则是因为欧拉。

• 03 黎曼的ζ函数

欧拉是从接触巴塞尔问题开始进入素数研究领域的。那么巴塞尔问题是什么?为平方倒数级数寻找一个闭型,也就是准确的表达式解。π2/6,这就是欧拉的答案。顺带着,欧拉还给出了所有的偶数次方的倒数级数的闭型,却没有给出奇数次方的。

幂最初是作为重复的乘法出现的(正整数域),但是后来它被延拓至其他数域,更进一步的,也可以把它作为一个未知量,用ζ表示,那么巴塞尔的平方倒数级数就成为了黎曼的ζ函数,而黎曼研究的数域,是复数域。大名鼎鼎的黎曼假设也是直接与ζ相关:ζ函数的所有非平凡零点的实部都是1/2。

对于ζ函数的分析首先是在实数域(有理数+无理数)上进行的,而自变量大于1的ζ函数图像在旋转90°之后,和lnx函数很相似。

• 04 解析数论与欧拉积公式

对于时间而言,当我们计算一个人的年龄时,总是取整的,这属于计数的范畴,而当我们精确界定时间时,我们需要进行度量。黎曼假设的产生也正是来源于计数逻辑与度量逻辑的邂逅:当来自算术的某些观念同来自分析的某些观念结合在一起的时候,就产生了一个数学新分支,解析数论。而这份开创,最早的领衔者是狄利克雷,正是由于其在关于素数的解析数论领域的研究,欧拉才得到了素数领域的金钥匙,而巧合的是,黎曼在柏林大学的时候正是狄利克雷的学生。

欧拉积公式是什么呢?这来源于欧拉用分析的语言去尝试描述“埃拉托色尼筛法”,通过去除自然数的所有素因子的合数,留下的自然就是素数。

ζ函数就这样与“埃拉托色尼筛法”产生了最直接且最深刻的关联,这简直是一个天才的想法。而这个公式,就是通过消除ζ函数中的素数而得到了一个新的函数:s的ζ函数等于对1减去p的负s次幂所得到的差的负1次幂取遍所有素数p的总乘积”。

而这也就是ζ函数与素数直接关联的起源之处,是通过“埃拉托色尼筛法”关联上的。这是欧拉的天才想法,也因而被称为“欧拉积公式”。

数学上的很多新概念的诞生,正是为了精确区分以往界定中的不清晰或不全面之处,而这种对于直观定义的深度抽象是非自然的,会使得数学思想与人类的思想和语言完全格格不入。数学是描述宇宙甚至是超出宇宙的语言,正因为宇宙的极度复杂,所以数学也趋于极度抽象。

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