巴拿赫-塔斯基悖论 (5-3)

重点在于我们可以只用集合2、3构建一个球！

我们可以直接使用集合2，再在把集合3做多一次x ，因为集合3是以 x⁻¹ 结尾的，那么所有 x⁻¹ 都会就会和 x 相互抵消，这时集合3里的点可以重新分配为

1. 集合1，起始点 M ，来自于原来起始轨迹就是 x⁻¹

2. 集合3，所有以 x⁻¹ 为结束的点，来自于原来轨迹是以x⁻¹x⁻¹结尾的轨迹

3. 集合4，所有以 z 为结束的点，来自于原来轨迹是以zx⁻¹结尾的轨迹

4. 集合5，所有以 z⁻¹ 为结束的点，来自于原来轨迹是以z⁻¹x⁻¹结尾的轨迹

只会分配到这4个集合里，不会分配到原本的集合2中，因为原本的集合3中不可能出现以xx⁻¹ 结尾的情况（这样就相抵消了），因此，我们发现原来的集合3经过旋转后其实就是集合2的补集 (complement)， xS(x⁻¹)＝S(x)ᶜ

同理，集合4和5也是这样的关系。

由此，我们就从集合2+旋转后的集合3得到了一个球，又从集合4+旋转后的集合5得到了一个球。

当然这两个球目前都除去的集合D ，同时我们还有集合1里的 M 点作为多余的部分。

这就是第一阶段~

第二阶段 - 搞定多余的起始点

接着我们来思考多余的部分M ，开始第二阶段。

现在我们将原来的集合1，也就是M ，加到集合2中，这样除了集合 D 以外，我们的分割变成了4个集合

1. S(x)∪M

2. S(x⁻¹)

3. S(z)

4. S(z⁻¹)

但这样我们不能直接使用第一阶段的论述，因为这样M 会出现了2次，一次在 S(x)∪M 中，另一次在旋转后的 S(x⁻¹) 的集合1中。为了解决这个问题，我们考虑一个新的集合 G 使得

G＝x⁻¹M∪x⁻²M∪x⁻³M∪. . .

我们把这个集合加到集合1中，并从集合2中剔除，于是

1. A₁＝S(x)∪M∪G

2. A₂＝S(x⁻¹)\G

3. A₃＝S(z)

4. A₄＝S(z⁻¹)

又因为

xG＝M∪x⁻¹M∪x⁻²M∪. . .＝M∪G

当我们用 x 旋转了 A₂ ， M 也就从 A₂ 中被排除了。

重新审视这个时候的xA₂ ，我们得到了新的一组集合

1. 集合1，此时是一个空集了 ，来自于原来起始轨迹就是 x⁻¹

2. 集合3，所有以 x⁻¹ 为结束的点但是除去了所有从起始点出发只做 x⁻¹ 方法移动的点，也就是 G ，来自于原来轨迹是以x⁻¹x⁻¹结尾的轨迹

3. 集合4，所有以 z 为结束的点，来自于原来轨迹是以zx⁻¹结尾的轨迹

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。