巴拿赫-塔斯基悖论 (5-2)

因为轨道上的轨迹和轨迹上的点都是可数无限，但是球上有不可数无限个点，我们必须在球上对不可数个点重复这样的操作直到覆盖了整个球上的点。因此我们会有不可数无限条轨道。

好的，现在我们有了一个集合是覆盖整个球所需要的可能的轨道。但是我们没有直接挑选它们的办法，为此我们需要使用选择公理。

选择公理的表述会有些出入，这里采用的是：将一个集合和一个这个集合的等效关系 (Equivalence Relation) 作为入参，返回一个函数，这个函数对于是表示每一个元素所属的等效类 (A Representative of The Equivalence Class It Belongs To)。对于一个等效类，表示是唯一的：对于同一个类的两个元素，这个函数的返回值是一样的。

对于我们而言，在同一个轨道上就是一个等效关系。使用上述的选择公理我们就可以得到覆盖整个球的轨道：选择函数的像 (The Image of The Choice Function) 会给我们轨道上所有的表示。简单理解就是我们可以通过其挑选球面上的点了。

轨道的分割

有了这些我们就可以分割我们的球了，选择一个轨道，我们对轨道上的点分为五个集合：

1. 起始点

2. 所有轨迹以 x 为结束的点

3. 所有轨迹以 x⁻¹ 为结束的点

4. 所有轨迹以 z 为结束的点

5. 所有轨迹以 z⁻¹ 为结束的点

可想而知这就是一个轨道上所有的点。

但是有些点是很特殊的，如x-轴上的点 (1，0，0) ，倘若它是起始点，那么它肯定在第1个集合里，但同时，因为旋转操作 x 和 x⁻¹ 都不改变它的位置，它也一定在第2和第3个集合中。

类似的点在每个轨迹都有，可以说只要是旋转轴与球的交点就会有这个问题，它一定会出现在至少两个集合里（一个起始点，一个终点）。

难搞的点

注意，我们上方说的是“每个轨迹都有”。因为我们有可数无限个轨迹，因此有可数无限个不动点。我们将其列为一个集合 D 。因此如果我们除掉这个集合，也就是说我们讨论的是 B\D 。那么上面五个集合就形成了一个对于他们轨道集合真实的分割了。

重组

好的，我们可以来看这个情况下的巴拿赫-塔斯基悖论了。对于除了集合D 的点，我们总体归纳为5个集合：

1. 集合 M ，包含全部起始点

2. 集合 S(x) ，包含全部轨迹以 x 为结束的点

3. 集合 S(x⁻¹)， 包含全部轨迹以 x⁻¹ 为结束的点

4. 集合 S(z) ，包含全部轨迹以 z 为结束的点

5. 集合 S(z⁻¹)， 包含全部轨迹以 z⁻¹ 为结束的点

因为M 包含了对于每个轨道全部的表示，它就是我们选择函数的像。这5个集合就构成了一个关于除去点 D 的球的分割。

这5个集合每个都包含了不可数无限个点。

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