几何学 (3-1)

目录

缘由 ▹

几何学的历史 ▹

离散几何与连续几何 ▹

图的几何学 ▹

结束 ▹

缘由

学习微分几何的时候，看到了一本奇怪的书，也就是几何分析，看不到通常的数学构造，取而代之的是算子，函数，微分方程之类的东西。难怪很多人称之为新领域。只不过，涉及到算子与微分方程，理论就会显得很复杂，所以，关注的人也不会很多。既然已经存在这样的非传统的几何学，那不妨谈一谈我所构想的一种万有几何学。

几何学的历史

在讨论抽象理论之前，不妨考察一下几何学的历史，多一些感性材料，几何往往被称为空间形式，也就是说在某个空间中呈现出来的图形，最初就是平面图形，欧氏几何，点，线，面，三角，正方，圆之类的图形，他们的关联，以及计算关系。这就是经典几何学，后来发展出来了仿射与射影几何，透视原理，这是艺术创作对数学的推动作用，即使在几天，透视原理与画法几何也是几何学最重要的应用，人们所认为的几何学基本上也是这个模样，就像画画一样。再后来，是第五公设的打破，导致了非欧几何，椭圆几何，球面几何，双曲几何，可以说点出了一个关键概念，空间的弯曲，这也是后来高斯曲率，黎曼曲率的由来，传统几何学是在平直空间中进行的，也就是平面，而非欧几何是在弯曲空间中进行的，也就是球面，伪球面，他们具有本质性的不同，曲面的弯曲程度，就像我们对一张纸进行的操作，弯折，折叠，团成一团，在火上烤的凹凸不平，浸水后导致的褶皱，我们采取的这些操作直接塑造很多奇特的非平面的空间，称之为弯曲空间可能都显得太过局限，因为折叠不满足可微性，折纸难道就不是几何了吗？不要带有这种偏见。

所以，当人们意识到空间可以弯曲折叠的时候，几何学就已经发生了根本性的改变，这就是后来出现的微分几何，当这些弯曲空间满足某种性质时，可以定义为微分流形，在流形上建立几何学理论就是微分几何。那么自然的，我们可以考虑在折叠空间上的建立某种形式的几何学，这样的几何学甚至比微分几何还要深刻，就像可微函数族之于连续函数族一样，我们可以认为微分几何是建立在可微函数上的，那么连续几【这是随意起的名字，毕竟我不清楚是否有这样的几何学】就是直接建立在连续函数上的。自然的，可以考虑比连续函数还要基础的函数，可测函数，那么是否存在可测几何呢？还可以直接一步到位，考虑最基础的函数，集合函数上的几何，所谓的集合几何。

这就是通过函数族所诱导的几何学，有没有觉得很自然呢？复几何之于解析函数，微分几何之于可微函数，连续几何之于连续函数，所以是一种自然的推广。当然，这并不是我所要阐述的内容，这顶多算是几何学，拓扑学与函数论的统一理论。通过函数诱导拓扑，在拓扑上建立几何。

离散几何与连续几何

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