巴拿赫-塔斯基悖论 (5-1)

目录

等度分解 ▹

第一阶段-忽略些难搞的东西 ▹

轨道的分割 ▹

难搞的点 ▹

重组 ▹

第二阶段-搞定多余的起始点 ▹

第三阶段-希尔伯特旅馆 ▹

搞定多余的不动点 ▹

搞定球心 ▹

巴拿赫-塔斯基悖论 (Banach-Tarski Paradox) 是一个从古典几何学过渡到解析几何后失效的经典例子，其展示了对于一个单位球 (Unit Ball) B：＝{(x，y，z)∈ℝ²：x²＋y²＋z²＝1} 可以被分解为有限个单位（比如5块），再重组后（刚体移动和旋转）可以形成2个不连接的单位球，相当于体积变成了2倍！从一个单位球变成了两个单位球！来看看人类理性带来的有趣悖论。（如果你不理解无限、可数无限、不可数无限的话应该是理解不了的，可以去搜搜看）

等度分解

先来理解一个从古典几何学就存在的概念 -等度分解 (Equidecomposable)。

在数学中，两个几何物体（也就是解析几何中点的集合）是等度分解的，就是说可以将一个几何物体分割 (Partition) 成有限多个元素，同时使用这些分割的元素通过旋转、平移，重新组成到另一个几何物体。倘若可以这么做，那么我们就说这两个几何物体是等度分解的。

因此乍一看巴拿赫-塔斯基定理是真的很怪。为啥一个球可以分成一些份，然后可以重组为两个球。其实这就是选择公理 (Axiom of Choice) 使用的结果，组合起来的东西是没法测量的 (Not Measurable)。（这个我们放到测度论去聊，现在先来看下这诡异的悖论）

第一阶段 - 忽略些难搞的东西

我们先看第一阶段的描述，可以将一个不包含球心的球分解，重组为两个不包含球心的球，还多出一些不用的部分；第二阶段中，我们再看多余的部分怎么通过一些调整被包含在重组的不包含球心的球里；第三阶段，我们把球心塞回去。

既然要分解，我们肯定要选取一个角度。任何不是π 的有理数倍的角度都是可以的。基本原则是当球绕着某个轴按这个角度旋转不管几次（即使是可数无限次），除了旋转轴上两点，任何点都无法回到原来的位置。

比如我们按经典设置，可以令

1

θ＝arccos(─) ，

3

这就不是 π 的有理数倍。接着我们考虑球所有绕 x-轴和 z-轴的旋转序列（不需要 y-轴，这两个就足够了），每次旋转都是 θ 的角度，我们简单将绕x-轴正方向的旋转和反方向的旋转分别用 x，x⁻¹ 表示，同理绕z-轴的旋转用 z，z⁻¹ 来表示。

球上选一个任意点，任意按x，x⁻¹，z，z⁻¹ 去旋转，我们得到一条旋转轨迹 (Path)，这条路径将这个点映射到了球上另一点。注意，我们不去记录往返的轨迹，如 xx⁻¹，x⁻¹x，zz⁻¹，z⁻¹z ，这些旋转都会相互抵消掉。

当对一个起始点遍历过所有可能的轨迹，我们得到了这个点能到达的终点的集合，我们将这个集合称为轨道 (Orbit)。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。