几何学 (3-2)

这一部分讨论另一种几何学的建立方案，那就是按照点的分布形式建立，点集除了有限集就是无穷集，有限集容易刻画，无穷集却有很多奇异性，比如康托集，他是一种很奇特的集合，通过递归构造出来的离散的不可数集，也就是说按照通常的模型来说，你可以一个一个的数出来这个集合的每一个元素，就好比你一个一个数出所有实数。听起来像一句玩笑话，但是他所呈现出来的性质确实如此，不可数的离散点集，那么康托集上的几何是什么样子的呢？往往被称为分形几何，也就是通过递归方法制造的无穷几何形。这种几何与函数诱导的几何很不一样，其实只是因为目前的人类数学太落后，不认为任意集合函数可以诱导几何学导致的，康托集再复杂也不过是一个集合函数，所谓的实函数，无非是这种函数通过递归方法定义，显得不可理解。

无穷集除了康托集，还有其他的类型，比如实数集，他通常被看作连续统，具有某种序完备性。实数集上的几何往往被称为连续几何，有限集上的几何就是离散几何，中间其实还隐藏着一个分形几何，这就是按照点集的类型所诱导的几何学，目前的话，我了解到人们试图将连续几何与离散几何统一起来，也就是说在数论中定义连续几何，而在分析中定义离散几何。前者可以看作解析函数方法，把数列看作特殊的函数的特征点集，也就是说生成函数方法，任意数学配合特定的函数基生成连续函数，而后者则是离散不变量方法，通过离散的谱刻画连续函数的特征，比如拓扑不变量，微分不变量，代数不变量，都可以，这就是离散几何与连续几何的统一理论。似乎也可以看作朗兰兹纲领。当然我对这个理论了解不多，只知道他涉及了数论和函数论的统一。形式上看，似乎就是离散和连续的统一性。

但是，是不是漏了些东西，对，分形几何是怎么回事，难道说他不能被统一进去吗？这个就涉及到了非线性微分方程，动力系统与混沌理论，分形几何确实是普遍存在于数学现象中的，但是，问题在于人们没有办法去研究他，他是以迭代的形式体现的，而迭代意味着复杂度的折叠，最好不要去展开他，展开一个迭代公式会出现指数爆炸现象，项的数目以指数级增长，很快就超出了可表示范围。这就是问题所在，不是说人们把他漏掉了，而是因为人们没有能力去处理这样的对象。时至今日，分形与混沌相关的理论看上去仍然像玄学而不是数学，因为计算不可能，也只能通过观察数学对象的图形来猜测一些性质，就像流体力学做的那样，因为计算不可能，只能通过经验来推理一些东西。这些东西即使有用，也不知道是不是严格成立的，有没有例外情况。

由此，几何学的基本样貌就清楚了。然后才是我要谈论的东西。

图的几何学

看起来不可思议，但是显得理所当然，毕竟我的基本观点就是所有的数学对象都代表了某种图，所有的数学理论都是图论的子集，刻画了特殊形式的图，这里提及的图论具有超越性，他不是数学体系中的图论，而具有某种象征性的意味，就像人所看到的所有事物都是图，是这个图的含义，不是数学中的图。那么原则上人们所能理解的一切事物都是图，以图的形式重建一切数学理论才具有可理解性。

这个图有几何吗？这个问题很没有水平，因为只需要反问，你看到的事物具有规律吗？这才是人类所具有的一种的终极的几何学，将眼前所见的一切事物几何化，这种几何学甚至都不需要你去思考，大脑会自动的完成相关的计算，电线是平行的，墙角是垂直的，看到了球，看到了正方形，三角形，以及其他，你需要考虑自己为什么能看到并且认出这些东西吗？肯定不需要啊，这就是一种默认认知方式，学过语言和概念后，自然就具有了这样的能力，而且所有人都具备这样的能力。

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