芝诺悖论详解（二） (6-4)

多少时间 ,但数学不解决‘是否能’的问题。”〔5〕经过比对可以看出 ,首先 ,与吴国盛所谈方法不同 ,本文直接证明的是“按照追龟辩规定的追赶方法 ,无数次的追赶所用的时间实际上是被限定在某个特定值以内的”,而不是“距离有限”;其次 ,本文证明“在追龟辩里 ,在‘无数次’掩盖下的限定时间被偷换为‘永远’, 违反了亚里士多德逻辑学的同一律。话又说回来 ,这里证明的仅仅是芝诺追龟辩的“逻辑推理本身”是否包含逻辑错误“, 能否成立”的问题 ,而不是去解决“能否追上”的全面论证问题。

D: 飞矢辩的破解

对于“飞矢辩”, 亚里士多德说 :他 (芝诺) 讲的“是飞矢不动。他是在假定了时间由瞬间组成之后得出这个结论的。如果没有这个假定也就不会有这

个结论。”亚里士多德又说 :芝诺的意思是箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置因而是静止的 ,所以箭就不能处于运动状态。亚里士多德指出 ,如果我们不承认时间具有不可分的单元 ,这种悖论就站不住脚了。亚里士多德的看法显然是时间不具有不可分的单元 ,即时间是无限可分的。但是 ,我们并没有看到亚里士多德如何由此驳倒飞矢辩。应该承认 ,飞矢辩的破解也许是四个悖论中最困难的 ,甚至连罗素也感到有些拿不准。罗素为了解决自己称之为“四个无限微妙无限深邃的悖论”之一的飞矢辩 ,甚至提出了三种办法〔6〕。

其一是 :时空虽确由点和瞬间构成 ,但其数目在任何有限的间隔中都是无限的。因为任何两个瞬间之间都有无穷多个瞬间 ,所以 ,任何一个瞬间的下一

个瞬间是找不出来的。其二是 :可以根本否认时空由点和瞬间构成。其三是 :可以根本否认时空的实在性。尽管第一条的某些内容可以让人接受 ,但要破

解该悖论 ,这三种办法都不能令人信服。实际上 ,飞矢辩的根本问题在于混淆了“瞬间”这一概念的两种含义。第一种含义是代表“时刻”( t) , 表示时间流程的一个数学意义的点 , 类似于运动中的“位置”;第二种含义是代表很小的“时间段”,表示两个比较接近的“时刻”之差 (Δt , 或 t +Δt - t ,或时间的无穷小量d t) , 类似于运动中的“位置差”或小段距离。“时刻”是没有长度的 ,而“时间段”是有长度的 ,即使有时其长度为无穷小。

其实 ,一个物体在一个特定“时刻”( 第一种含义的瞬间) 具有一个特定的位置 ,是十分自然的 ,既不能表示它一定是静止的 ,也不能表示它一定是运动的。在这一点上 ,吴国盛有过相近的说法“: 如果说一点物体在每一瞬间都处在一个位置 ,那么在这一瞬间 ,我们的确无法知道它是否是运动的 ,特别是解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞当时间和空间不连续时”。但是 ,他尚未意识到“瞬间”一词可能具有两种不同的含义。

没有时间段或时刻差 ,就谈不上速度的大小 ,或动或静 ,只有当物体在一个“时间段”( 第二种含义的瞬间) 内保持同一位置 (例如Δx /Δt 或 d x/ d t =0) , 才表示它在这段时间或瞬间是静止的。芝诺悖论之所以长期给人们带来很大困扰 ,还在于他看似简单的推理中包含着多重内涵。他所说的“箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置因而是静止的 ,所以箭就不能处于运动状态”这段话 ,实际上包含着几层意思 :

A1 箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置。(此处“瞬间”只能代表“时刻”,假如代表的是小“时间段”[ t ,位于 t 与 t +Δt 之间] ,箭将具有一段微小移动的非确定“位置”[ x 与 x +Δx 之间] 。)

B1 箭在运动的任一瞬间都在一个确定位置 ,因而在任一瞬间都是静止的。(此处“瞬间”又转而代表小“时间段”[Δt ]。在任一个小“时间段”只有一

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