芝诺悖论详解（二） (6-5)

个确定的位置 ,当然是静止的了。如果此处“瞬间”仍代表“时刻”,则无法推出箭是静止的。)

C1 箭在运动的每一瞬间都是静止的 ,而时间是由瞬间组成的 ,所以整个时间内箭就不能处于运动状态。(此处“瞬间”只能代表小“时间段”[Δt ]; 因

为时间由小“时间段”组成 ,在每个时间段箭都静止 ,整个时间内箭就不能处于运动状态。)这里 ,我们终于可以看清楚芝诺如何在其悖论中深藏不露地偷换“瞬间”概念的内涵了(在 A 里代表的是时刻 ,在 B 和 C 里代表的是时间段) 。找到违反同一律的逻辑破绽 ,飞矢辩亦被破解。可能有人认为 ,如果视“瞬间”为无穷小量 ,而无穷小量可以是零 ,那么两种含义的“瞬间”就可以成为单一的“时刻”意义了。然而 ,这是不可能的。实际上 ,关于无穷小量问题在 19 世纪已由柯西等数学家解决。答案是 :无穷小量自身不为零 ,但其极限为零。无穷小量同其极限是没有交集的两个不同概念。此后 ,在严肃的数学分析的演算中 ,无穷小量不再被等同于零〔8〕。在文献〔1〕中 ,曾举出一个例子(该例的 ds、d t 的

写法不够准确 ,似应写作Δs、Δt) :

ds = x 2 - x 1 = gtd t +12gd t2

v = ds/ d t = gt +12gd t

令 d t = 0 , 得 v = gt

这种推导是牛顿时代不严谨的作法 ,尽管结果是准确的。实际上 ,按照柯西的理论 v ≠Δs/Δt gt+12

gΔt ≠ gt

但Δs/Δt = gt +12gΔt

由于Δs/Δt 的极限为 v , gt +12Δt 的极限为gt

所以 v = gt (相等的函数其极限也相等 ,极限存在的准则 I 的推广 ,文献〔9〕第 228 页)这里 ,并不需要令Δt 或 d t = 0 ,实际上Δt 或 d t也不等于零 ,尽管它无限接近于零。柯西的理论确实使用了无穷小量的概念 ,但它从来不需要也不允许无穷小量等于零 ,也就不受错误的所谓无穷小量悖论的影响〔8〕〔9〕。因此 ,无论“时间段”意义的“瞬间”是否为无穷小量 ,它都不会等同于“时刻”。需要指出的是 ,为了走出飞矢辩的窘境 ,有的学者走得太远了。他们认为 :芝诺悖论的“全部要害在于用运动轨迹代替自身”,或是“用数学化的运动轨迹代替物理的运动轨迹”。吴国盛也认为“时空的分立点结构所导致的问题也许是更为深刻的”。

事实上 ,本文的论证过程表明 ,对飞矢辩的破解既不依赖数学化的运动轨迹 ,也不牵涉物理的运动轨迹 ,也未求助于时空的分立点结构。对亚里士多德逻辑学的准确把握和严密运用或许更为重要。芝诺悖论的逻辑破解 ,或许会压缩某些“哲学戏说”的空间 ,但对芝诺概念的借用、转化和升华不会终止。思辨更多转向更尖锐的前沿领域 ,也许是哲学发展新的契机。

参考文献

〔1〕张兴 1 芝诺悖论的结构[J ]. 自然辩证法研究 , 20041(11) 1

〔2〕Kline Morris1 Mathematical Thought[ M]. New York : OxfordUniv1 Press , 19721

〔3〕克莱因 1 古今数学思想[ M]. 上海 : 上海科学技术出版社 ,19791

〔4〕北京大学哲学系 1 西方哲学原著选读[ M]. 北京 : 商务印书馆 ,19811

〔5〕吴国盛 1 芝诺悖论今昔谈[J ]. 哲学动态 ,1992 (12) 1

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