芝诺悖论详解（二） (6-3)

对于第二个悖论 (追龟辩) ,亚里士多德提到 :“它说动得最慢的不能被动得最快的东西赶上 ,因为追赶者首先必须到达被追者出发之点 ,因而行动较

慢的被追者必定总是跑在前面。”如果描述得更具体的话 ,就是追赶者到达被追者出发点时 ,被追者又有了新的出发点 ,追赶者到达被追者新的出发点时 ,被追者又离开了 ……因此 ,追赶者永远也追不上被追者。亚里士多德分析说“: 这个论点同二分法论证在原则上一样 ,所不同者是不必再把所需通过的距离一再平分。这个论证的结论是‘追不上最慢的’;但是论证的路线与那个二分法论证是一样的 (因为在这两个论证中 ,都是从距离的某种分割中得出不能达到目的地的结论 ,虽然‘阿基里斯论证’走得更远 ,断定连传说中跑得最快的人也追不上跑得最慢的) ,因而解决的办法必定是一样的。论证的前提‘领先的永远不能被追上’是错的 ,在领先的时候没有被追上是对的 ,可是 ,如果让他跑过一段指定的有限距离 ,他就被追上了。”

亚里士多德的说法有些笼统。显然 ,他似乎认为 :正像从他有关追龟辩论点所引出的“有限的距离和时间被分成越来越小无限多的小段后其总和仍是有限的”那样 ,按比例越来越缩小的一段一段距离之和与对应的时间之和也是有限的。然而 ,对于大多数人来说 ,追龟辩所述图景的追赶距离和所需时间的无限次的外延与二分辩的距离内分大不相同。因此 ,亚里士多德的说法似乎不能令人十分信服。因此 ,本文有必要另行分析。

确实 ,按照追龟辩的追赶方法 ,无数次地追过越来越小的距离也不可能追上被追者。然而 ,无数次就意味着“永远”吗 ?我们知道 ,在追赶过程中 ,一个又一个的出发点分割出一段段越来越短的距离 ,相邻段距离之比以及经由相应所需时间之比同为被追者与追赶者速度之比 q ,其中 ,设最初两者距离为 S ,追赶者跑过最初距离的时间为 t1 ;那么追赶者跑过 n 段距离的总长 S 所需时间为 t n ;

t n = t1(1 + q1 + q2 + ……+ qn - 1)

t n = t1(1 - qn) / (1 - q)

由于 1 - q

n＜1 ,即使 n 趋于无穷大

t n = t1(1 - qn) / (1 - q)＜t1/ (1 - q)

t n＜t1/ (1 - q)

显然 , t1/ (1 - q) 为常量 ,因此 , 即使 n 趋于无穷大 , t n 仍然小于一个常量。

可以看出 ,按照追龟辩规定的追赶方法 ,无数次的追赶所用的时间实际上是被限定在特定值以内的。时间短到一定限度 ,阿基里斯当然追不上乌龟。可是在追龟辩里 ,在“无数次”掩盖下的限定时间( t n) 被偷换为“永远”,违反了亚里士多德逻辑学的同一律 ,因而其推理是错误的。由此我们可以清楚地看到 ,芝诺的第二悖论 — 追龟辩的逻辑漏洞确实已被锁定。

应该提及 ,吴国盛在《芝诺悖论今昔谈》中谈到人们可以利用无穷数列的方法证明 ,追赶者“所走的空间距离并不是一个无限量”,但是“算出了距离是

有限的并未解决问题”,因为“在这个方法中有一个前提 ,那就是阿喀琉斯最终追上了乌龟。这个假定说明 ,数学所告诉我们的不过是 ,如果能的话 ,需要

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