芝诺悖论详解（二） (6-2)

芝诺悖论是亚里士多德在他的《物理》中陈述的〔2〕〔3〕。他说“: 第一个悖论(以下称为二分辩) 说运动不存在 ,理由是运动中的物体在到达目的地前必须到达半路上的点。”其意思是 ,一个物体要通过 A 点到B 点之间的距离 , 首先要通过 AB 之间的 C 点; 然而 ,要通过 A 点到 C 点之间的距离 ,首先要通过 A C之间的 D 点 , 依此类推。换言之 ,如果空间无限可分 ,有限长度含有无限多的点 ,就不可能在有限时间内通过有限长度。

对此 ,亚里士多德已经作了自己的破解。他说 :关于一个事物的无限性有两种意义 :无限可分或无限宽广。在有限的时间内可以接触从可分的意义上是无限的东西 ,因为从这个意义上讲时间也是无限的 ,所以在有限时间内可以通过有限的长度。

换言之 ,亚里士多德的意思是 ,有限的距离和有限的时间都是无限可分的 ;有限距离和有限时间在无限分割时的总长仍是有限的 ;无限可分或无限分割的有限距离和有限时间并不意味着它们变成无限宽广 ,所以在有限时间内可以通过有限的长度。在这里 ,实际上必须强调的是二分辩违反了同一律 :芝诺用“无限可分”偷换了“无限宽广”的概念。有人认为 :在距离被不断二分的过程中 ,距离会被分成无穷多个小段 ,而运动物体经过每个小段的时间都不为零 ,因而总的时间为无穷大。实际上 ,距离会被分成无穷多个小段的时候 ,经过这段距离的时间也被分成无穷多个小段 ,每个时间小段与每个距离小段是一一对应的 ,因而 ,时间总和与距离总和的有限性和无限性也是对应的。

人们常常把二分辩的矛盾归结到“无穷小量是否为零”的两难问题〔1〕,我们会在后文讨论中证明该问题已经得到解决。运动场辩是芝诺的第四个悖论。亚里士多德说 ,它“讲到两列物体 ,每列都由数目相等的一样大的物体组成 ,在一段跑道是以同样速度循相反方向前进 ,互相越过。其中的一列原来占据跑道终点与中点之间的空间 ,另一列原来占据跑道中点与起点之间的空间。他认为这就可以得出一半时间等于一倍时间的结论。”

“例如(他就是这样论证的) ,假设 AAAA 是同样大小的静止物体 ,BBBB 是与 AAAA 数目相等大小相同的物体 ,原来占据跑道上从起点到 A 列中央的那一半 ,CCCC 是原来占据从终点到 A 列中央那一半的物体 ,与 BBBB 数目、大小、速度都相等。于是导出三个结论 :第一 ,B 列和 C 列互相越过时 ,第一个B 达到最后一个 C 的时刻 ,就是第一个 C达到最后一个 B 的时刻。第二 ,在这个时刻 ,第一个 C 越过了所有的 B ,而第一个 B 只越过了 A 列的

一半 ,因此只占了第一个 C 所占时间的一半 ,因为这两个物体中的每一个越过每一个 A 或 B 时所占时间相等。第三 ,就在这个时刻 ,所有的 B 越过了所有的 C ,因为第一个 C 和第一个 B 将同时到达跑道的相反末端 ,这是由于 (芝诺这样说) 第一个 C 越过每一个 B 时所占时间等于它越过每一个 A 所占时间 ,因为第一个 B 和第一个 C 越过每一个 A 时所占时间是相等的。”〔4〕

对此 ,亚里士多德已经分析得很清楚 ,他说芝诺的“错误在于假定一个物体以相同的速度通过一个移动物体和一个同样大小的静止物体时 ,所需相等 ,而这个假定是错误的。”与另外三个悖论相比 ,至少现有版本的运动场辩缺乏足够的说服力 ,也不被亚里士多德以后的哲人所重视。亚里士多德对它的破解已经可以令人满意 ,而一些学者对该悖论的过度猜测和演绎(甚至联系到量子理论) ,本人认为是不必要的。我们不必将现代人的智慧强加于古人 ,再因受惠于先贤而感激不尽。

C:追龟辩的逻辑漏洞

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