正方形的内接最大半圆面积

先把问题转化为: 求包含已知半圆的正方形的最小面积.

再把问题转化为: 分别从两个互相垂直的方向去测量已知半圆的宽度, 问当不断改变方向时, 宽度较大的那个方向的最小宽度是多少?

容易发现, 除去一种极特殊的情况外, 只要从两个互相垂直的方向测量半圆的宽度, 半圆直径的端点必然对应了宽度的端点. 所以问题又可以进一步转化为: 半圆上圆心角为90度的圆弧的两端点与半圆直径的两端点所连线段当中较长者的最小长度是多少?

从几何直观上看, 要使上述对象拥有最小长度, 这个圆心角为90度的圆弧应当处于半圆的中间位置, 此时半圆的宽度为 (假设半圆的半径为 1) 1+√2/2, 它也是包含此半圆的正方形的最小边长.

所以如果问“边长为 1 的正方形内面积最大的半圆的半径”, 那应该是 1/(1+√2/2), 它的面积为 π/(3+2√2).

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