微积分

关于微分学里的 dy, 这东西最早出现在导数表达式 dy/dx 中, 单写一个 dy 就表示即将对它求导但还没求导 (如导). 表达式 dz=dx+dy 的实际含义是, 对于任意的函数 t 均有 dz/dt=dx/dt+dy/dt.

至于一元积分学里的 dx, 这个得用原函数去解释为什么可以把积分号里的 dx 写成 x'(t)dt, 因为当你用变量替换把原函数 F(x) 改写成 F(x(t)) 时, 相应的导函数也就变成了 F'(x(t))x'(t).

再进一步到积分学里的 dxdy, 这个就比较复杂了, 通俗地讲, 欧式空间中的全体方向导数算子共同构成一个线性空间, dx 和 dy 分别是该线性空间的对偶空间中的向量, 两个这样的向量作张量积成为 dx⊗dy, 然后再对它进行反对称化成为 A(dx⊗dy)=dx∧dy, 这就是积分学里的 dxdy 的严格写法了. 可以看到, 它的定义需要依赖于线性空间和张量代数的知识, 放在高数里对于非数学专业的学生来说很难讲解明白, 好在一些教材对于 Jacobi 矩阵有着详尽的说明, 学生在学的时候只要把 dxdy 当作只在重积分里出现的形式化而没有实际含义的符号就行了.

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