欧几里得引理 (3-1)

Euclid引理，给出证明

欧几里得引理及其证明 - 夶 - 博客园

欧几里得引理

如果一个正整数整除另外两个正整数的乘积，且第一个整数与第二个整数互质，那么第一个整数整除第三个整数。

即：如果α│bc且 gcd(α，b)＝1，那么 α│c。

命题

如果一个【素数】【整除】两个正整数的【乘积】，

那么这个素数可以【至少】整除这两个正整数【中的一个】。

即： 如果p│αb，那么 p│α 或者 p│b。

证明：

设p│αb，但 p 不是 α 的因子。

于是，可设rp＝αb，其中 r│αb。

由于p 是质数，且不是 α 的因子，gcd(α，p)＝1。

这就是说，可以找到两个整数x和 y，使得 1＝px＋αy（裴蜀定理）。

两边乘以b，可得：

b＝b(px＋αy)，

b＝bpx＋bαy.

前面已经说了rp＝αb，因此：

b＝bps＋rpy，

b＝p(bx＋ry).

所以，p│b。

这就是说，p 要么整除 α，要么整除 b，要么都能整除。

证毕。

【claude-3-opus-20240229】

好的,我会给出一个更加详细、不跳过任何步骤的证明。

命题:如果一个素数整除两个正整数的乘积,那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。

即，如果p│αb，那么p│α或者p│b。

证明: 假设p是一个素数，且p│αb。我们要证明p│α或p│b。

假设p∤α，我们将证明p│b。

Step 1: 因为p│αb，所以存在一个整数r，使得rp＝αb。

Step 2: 因为p是素数，且p∤α，所以gcd(α，p)＝1。

Step 3: 根据Bézout定理，如果gcd(α，p)＝1，那么存在整数x和y，使得αx＋py＝1。

Step 4: 将等式两边同时乘以b，得到αbx＋pby＝b。

Step 5: 将Step 1中的αb替换为rp，得到rpx＋pby＝b。

Step 6: 提取公因子p，得到p(rx＋by)＝b。

Step 7: 令m＝rx＋by，那么pm＝b，即p│b。

所以,如果p∤α，那么p│b。

综上,我们已经证明,如果p∤α，那么p│b。这意味着,如果p│αb，那么p│α或p│b。

证毕。

在这个证明中,我详细列出了每一步的推理过程,没有跳过任何一个必要的步骤。

这个证明使用了素数的定义、最大公因数、Bézout定理等基本概念,通过逻辑推理,完成了命题的证明。

每一步的理由都得到了充分的说明,确保证明的完整性和正确性。

THEOREM(Euclid's Lemma):If p is a prime and p | αb,then p│α or p| b.More generally, if a prime p divides a product α₁α₂ . . . αₙ，then it must divide at least one of the factors αᵢ. Proof:Assumethat p χ a.We must show that p│b.By the theorem above,there are integers s and t with

sp＋tα=(p，α).

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