欧几里得引理 (3-2)

Since p is prime and p χ α，we have (p，α)= 1，and so

sp+tα=1.

【gpt-4o-mini-2024-07-18】

命题：如果一个素数 p 能整除两个正整数的乘积 αb，那么 p 至少能整除这两个正整数中的一个，即：

如果 p│αb，则 p│α 或 p│b.

证明：

1.假设：我们假设 p│αb，但 p 不是 α 的因子，即 p∤α。

2.互质性：由于 p∤α，根据素数的定义，我们有：

gcd(α，p)＝1.

这意味着α 和 p 互质。

3.裴蜀定理：根据裴蜀定理，既然 gcd(α，p)＝1，我们可以找到整数 x 和 y，使得：

1＝px＋αy

这个等式表明1 可以表示为 p 和 α 的线性组合。

4.乘以 b：为了将这个结论与 b 联系起来，我们对等式两边同时乘以 b：

b＝b(1)＝b(px＋αy).

展开右边，得到：

b＝bpx＋bαy.

5.利用假设：因为我们知道 p│αb，所以我们可以写 αb 为 rp，其中 r 是某个正整数：

αb＝rp

6.替换：现在我们将 αb 替换为 rp：

b＝bpx＋rpy.

这可以重新写为：

b＝p(bx＋ry).

7.结论：由此可知 b 的右边是 p 的倍数，因此：

p│b.

8.总结：我们现在已经得到了两个可能性：

• 如果 p│α，则结论成立。

• 如果 p∤α，则我们已经证明了 p│b。

因此，我们得出结论：如果p│αy，那么 p│α 或 p│b 至少有一个成立。

证毕

这就完成了对命题的详细证明，充分利用了互质的性质和裴蜀定理，没有跳过任何步骤。

以上部分为两个模型，接接入外部准确数据后的优化结果

以下展示未获得外部信息源的模型本身自行推导结果，可以看出小模型的错误还是更显著。

Euclid's Lemma

EUCLID'S LEMMA

Let α and b be any integers. If p is prime and if p divides αb, then either p divides α or p divides b.

Proof:

Let α and b be any two integers.

Let p be a prime number and suppose that p|αb.

If p|α，then we are done.

Suppose p does not divide α.

Since p is prime,the only positive divisors of p are 1 and p itself.

Therefore,the greatest common divisor of p and α is either 1 or p.

But p does not divide α，so we have gcd(p，α)=1.

Thus p and α are relatively prime.

Since p|αb, we must have p|b.

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